微分積分例

$f (x) = x (20 - 2 x) (32 - 2 x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = x (20 - 2 x)$ および $g (x) = 32 - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [32 - 2 x] + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $32 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [32] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$x (20 - 2 x) (\frac{d}{d x} [32] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

ステップ 1.2.2

$32$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $32$ の微分係数は $0$ です。

$x (20 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

ステップ 1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ をたし算します。

$x (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

ステップ 1.2.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (20 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

ステップ 1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (20 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

ステップ 1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$x (20 - 2 x) \cdot - 2 + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

ステップ 1.2.6.2

$- 2$ を $x (20 - 2 x)$ の左に移動させます。

$- 2 \cdot (x (20 - 2 x)) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

ステップ 1.3

$f (x) = x$ および $g (x) = 20 - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [20 - 2 x] + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

総和則では、 $20 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.2

$20$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $20$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ をたし算します。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- 2 x] + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x (- 2 \cdot 1) + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.6.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x \cdot - 2 + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.6.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (- 2 \cdot x + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (- 2 x + (20 - 2 x) \cdot 1)$

ステップ 1.4.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.8.1

$20 - 2 x$ に $1$ をかけます。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (- 2 x + 20 - 2 x)$

ステップ 1.4.8.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (- 4 x + 20)$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$- 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x) + (32 - 2 x) (- 4 x + 20)$

ステップ 1.5.2

分配則を当てはめます。

$- 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x) + (32 - 2 x) (- 4 x) + (32 - 2 x) \cdot 20$

ステップ 1.5.3

分配則を当てはめます。

$- 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + (32 - 2 x) \cdot 20$

ステップ 1.5.4

分配則を当てはめます。

$- 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 1.5.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1

$20$ に $- 2$ をかけます。

$- 40 x - 2 x (- 2 x) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 1.5.5.2

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$- 40 x + 4 x \cdot x + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 1.5.5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- 40 x + 4 (x^{1} x) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 1.5.5.4

$x$ を $1$ 乗します。

$- 40 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 1.5.5.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 40 x + 4 x^{1 + 1} + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 1.5.5.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 40 x + 4 x^{2} + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 1.5.5.7

$- 4$ に $32$ をかけます。

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 1.5.5.8

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x \cdot x + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 1.5.5.9

$x$ を $1$ 乗します。

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 (x^{1} x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 1.5.5.10

$x$ を $1$ 乗します。

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 1.5.5.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x^{1 + 1} + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 1.5.5.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x^{2} + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 1.5.5.13

$32$ に $20$ をかけます。

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x^{2} + 640 - 2 x \cdot 20$

ステップ 1.5.5.14

$20$ に $- 2$ をかけます。

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x^{2} + 640 - 40 x$

ステップ 1.5.5.15

$- 128 x$ から $40 x$ を引きます。

$- 40 x + 4 x^{2} - 168 x + 8 x^{2} + 640$

ステップ 1.5.5.16

$- 40 x$ から $168 x$ を引きます。

$4 x^{2} - 208 x + 8 x^{2} + 640$

ステップ 1.5.5.17

$4 x^{2}$ と $8 x^{2}$ をたし算します。

$12 x^{2} - 208 x + 640$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $12 x^{2} - 208 x + 640$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 208 x] + \frac{d}{d x} [640]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 208 x) + \frac{d}{d x} (640)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 208 x) + \frac{d}{d x} (640)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 208 x) + \frac{d}{d x} (640)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 208 x) + \frac{d}{d x} (640)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 208 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 208$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 208 x$ の微分係数は $- 208 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 24 x - 208 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (640)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 24 x - 208 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (640)$

ステップ 2.3.3

$- 208$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 24 x - 208 + \frac{d}{d x} (640)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$640$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $640$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 24 x - 208 + 0$

ステップ 2.4.2

$24 x - 208$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 24 x - 208$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$12 x^{2} - 208 x + 640 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$x (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [32 - 2 x] + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

ステップ 4.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

総和則では、 $32 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [32] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$x (20 - 2 x) (\frac{d}{d x} [32] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

ステップ 4.1.2.2

$32$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $32$ の微分係数は $0$ です。

$x (20 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

ステップ 4.1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ をたし算します。

$x (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

ステップ 4.1.2.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (20 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

ステップ 4.1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (20 - 2 x) (- 2 \cdot 1) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

ステップ 4.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$x (20 - 2 x) \cdot - 2 + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

ステップ 4.1.2.6.2

$- 2$ を $x (20 - 2 x)$ の左に移動させます。

$- 2 \cdot (x (20 - 2 x)) + (32 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (20 - 2 x)]$

ステップ 4.1.3

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [20 - 2 x] + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

総和則では、 $20 - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.4.2

$20$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $20$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ をたし算します。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- 2 x] + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.4.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x (- 2 \cdot 1) + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.4.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.6.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (x \cdot - 2 + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.4.6.2

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (- 2 \cdot x + (20 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (- 2 x + (20 - 2 x) \cdot 1)$

ステップ 4.1.4.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.8.1

$20 - 2 x$ に $1$ をかけます。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (- 2 x + 20 - 2 x)$

ステップ 4.1.4.8.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$- 2 x (20 - 2 x) + (32 - 2 x) (- 4 x + 20)$

ステップ 4.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

分配則を当てはめます。

$- 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x) + (32 - 2 x) (- 4 x + 20)$

ステップ 4.1.5.2

分配則を当てはめます。

$- 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x) + (32 - 2 x) (- 4 x) + (32 - 2 x) \cdot 20$

ステップ 4.1.5.3

分配則を当てはめます。

$- 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + (32 - 2 x) \cdot 20$

ステップ 4.1.5.4

分配則を当てはめます。

$- 2 x \cdot 20 - 2 x (- 2 x) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 4.1.5.5

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.5.1

$20$ に $- 2$ をかけます。

$- 40 x - 2 x (- 2 x) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 4.1.5.5.2

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$- 40 x + 4 x \cdot x + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 4.1.5.5.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- 40 x + 4 (x^{1} x) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 4.1.5.5.4

$x$ を $1$ 乗します。

$- 40 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 4.1.5.5.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 40 x + 4 x^{1 + 1} + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 4.1.5.5.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 40 x + 4 x^{2} + 32 (- 4 x) - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 4.1.5.5.7

$- 4$ に $32$ をかけます。

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x - 2 x (- 4 x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 4.1.5.5.8

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x \cdot x + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 4.1.5.5.9

$x$ を $1$ 乗します。

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 (x^{1} x) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 4.1.5.5.10

$x$ を $1$ 乗します。

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 4.1.5.5.11

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x^{1 + 1} + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 4.1.5.5.12

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x^{2} + 32 \cdot 20 - 2 x \cdot 20$

ステップ 4.1.5.5.13

$32$ に $20$ をかけます。

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x^{2} + 640 - 2 x \cdot 20$

ステップ 4.1.5.5.14

$20$ に $- 2$ をかけます。

$- 40 x + 4 x^{2} - 128 x + 8 x^{2} + 640 - 40 x$

ステップ 4.1.5.5.15

$- 128 x$ から $40 x$ を引きます。

$- 40 x + 4 x^{2} - 168 x + 8 x^{2} + 640$

ステップ 4.1.5.5.16

$- 40 x$ から $168 x$ を引きます。

$4 x^{2} - 208 x + 8 x^{2} + 640$

ステップ 4.1.5.5.17

$4 x^{2}$ と $8 x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{2} - 208 x + 640$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{2} - 208 x + 640$ です。

$12 x^{2} - 208 x + 640$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 208 x + 640 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 208 x + 640 = 0$

ステップ 5.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$4$ を $12 x^{2} - 208 x + 640$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$4$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$4 (3 x^{2}) - 208 x + 640 = 0$

ステップ 5.2.1.2

$4$ を $- 208 x$ で因数分解します。

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 52 x) + 640 = 0$

ステップ 5.2.1.3

$4$ を $640$ で因数分解します。

$4 (3 x^{2}) + 4 (- 52 x) + 4 (160) = 0$

ステップ 5.2.1.4

$4$ を $4 (3 x^{2}) + 4 (- 52 x)$ で因数分解します。

$4 (3 x^{2} - 52 x) + 4 (160) = 0$

ステップ 5.2.1.5

$4$ を $4 (3 x^{2} - 52 x) + 4 (160)$ で因数分解します。

$4 (3 x^{2} - 52 x + 160) = 0$

ステップ 5.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 160 = 480$ で和が $b = - 52$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1.1

$- 52$ を $- 52 x$ で因数分解します。

$4 (3 x^{2} - 52 x + 160) = 0$

ステップ 5.2.2.1.1.2

$- 52$ を $- 12$ プラス $- 40$ に書き換える

$4 (3 x^{2} + (- 12 - 40) x + 160) = 0$

ステップ 5.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$4 (3 x^{2} - 12 x - 40 x + 160) = 0$

ステップ 5.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$4 ((3 x^{2} - 12 x) - 40 x + 160) = 0$

ステップ 5.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$4 (3 x (x - 4) - 40 (x - 4)) = 0$

ステップ 5.2.2.1.3

最大公約数 $x - 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$4 ((x - 4) (3 x - 40)) = 0$

ステップ 5.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$4 (x - 4) (3 x - 40) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 4 = 0$

$3 x - 40 = 0$

ステップ 5.4

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 5.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 5.5

$3 x - 40$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$3 x - 40$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 40 = 0$

ステップ 5.5.2

$x$ について $3 x - 40 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

方程式の両辺に $40$ を足します。

$3 x = 40$

ステップ 5.5.2.2

$3 x = 40$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.1

$3 x = 40$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{40}{3}$

ステップ 5.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{40}{3}$

ステップ 5.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{40}{3}$

ステップ 5.6

最終解は $4 (x - 4) (3 x - 40) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 4, \frac{40}{3}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 4, \frac{40}{3}$

ステップ 8

$x = 4$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$24 (4) - 208$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$24$ に $4$ をかけます。

$96 - 208$

ステップ 9.2

$96$ から $208$ を引きます。

$- 112$

ステップ 10

$x = 4$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 4$ は極大値です

ステップ 11

$x = 4$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f (4) = (4) (20 - 2 \cdot 4) (32 - 2 \cdot 4)$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$- 2$ に $4$ をかけます。

$f (4) = 4 (20 - 8) (32 - 2 \cdot 4)$

ステップ 11.2.2

$20$ から $8$ を引きます。

$f (4) = 4 \cdot (12 (32 - 2 \cdot 4))$

ステップ 11.2.3

$4$ に $12$ をかけます。

$f (4) = 48 (32 - 2 \cdot 4)$

ステップ 11.2.4

$- 2$ に $4$ をかけます。

$f (4) = 48 (32 - 8)$

ステップ 11.2.5

$32$ から $8$ を引きます。

$f (4) = 48 \cdot 24$

ステップ 11.2.6

$48$ に $24$ をかけます。

$f (4) = 1152$

ステップ 11.2.7

最終的な答えは $1152$ です。

$y = 1152$

ステップ 12

$x = \frac{40}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$24 (\frac{40}{3}) - 208$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

$3$ を $24$ で因数分解します。

$3 (8) \frac{40}{3} - 208$

ステップ 13.1.1.2

共通因数を約分します。

$3 \cdot 8 \frac{40}{3} - 208$

ステップ 13.1.1.3

式を書き換えます。

$8 \cdot 40 - 208$

ステップ 13.1.2

$8$ に $40$ をかけます。

$320 - 208$

ステップ 13.2

$320$ から $208$ を引きます。

$112$

ステップ 14

$x = \frac{40}{3}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{40}{3}$ は極小値です

ステップ 15

$x = \frac{40}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $\frac{40}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{40}{3}) = (\frac{40}{3}) (20 - 2 (\frac{40}{3})) (32 - 2 (\frac{40}{3}))$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$- 2 (\frac{40}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1.1

$- 2$ と $\frac{40}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{40}{3}) = \frac{40}{3} \cdot ((20 + \frac{- 2 \cdot 40}{3}) (32 - 2 (\frac{40}{3})))$

ステップ 15.2.1.1.2

$- 2$ に $40$ をかけます。

$f (\frac{40}{3}) = \frac{40}{3} \cdot ((20 + \frac{- 80}{3}) (32 - 2 (\frac{40}{3})))$

ステップ 15.2.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{40}{3}) = \frac{40}{3} \cdot ((20 - \frac{80}{3}) (32 - 2 (\frac{40}{3})))$

ステップ 15.2.2

$20$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{40}{3}) = \frac{40}{3} \cdot ((20 \cdot \frac{3}{3} - \frac{80}{3}) (32 - 2 (\frac{40}{3})))$

ステップ 15.2.3

$20$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{40}{3}) = \frac{40}{3} \cdot ((\frac{20 \cdot 3}{3} - \frac{80}{3}) (32 - 2 (\frac{40}{3})))$

ステップ 15.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{40}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{20 \cdot 3 - 80}{3} \cdot (32 - 2 (\frac{40}{3}))$

ステップ 15.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.5.1

$20$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{40}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{60 - 80}{3} \cdot (32 - 2 (\frac{40}{3}))$

ステップ 15.2.5.2

$60$ から $80$ を引きます。

$f (\frac{40}{3}) = \frac{40}{3} \cdot \frac{- 20}{3} \cdot (32 - 2 (\frac{40}{3}))$

ステップ 15.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{40}{3}) = \frac{40}{3} \cdot (- \frac{20}{3}) \cdot (32 - 2 (\frac{40}{3}))$

ステップ 15.2.7

$\frac{40}{3} (- \frac{20}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.7.1

$\frac{40}{3}$ に $\frac{20}{3}$ をかけます。

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{40 \cdot 20}{3 \cdot 3} \cdot (32 - 2 (\frac{40}{3}))$

ステップ 15.2.7.2

$40$ に $20$ をかけます。

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{3 \cdot 3} \cdot (32 - 2 (\frac{40}{3}))$

ステップ 15.2.7.3

$3$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{9} \cdot (32 - 2 (\frac{40}{3}))$

ステップ 15.2.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.8.1

$- 2 (\frac{40}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.8.1.1

$- 2$ と $\frac{40}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{9} \cdot (32 + \frac{- 2 \cdot 40}{3})$

ステップ 15.2.8.1.2

$- 2$ に $40$ をかけます。

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{9} \cdot (32 + \frac{- 80}{3})$

ステップ 15.2.8.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{9} \cdot (32 - \frac{80}{3})$

ステップ 15.2.9

$32$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{9} \cdot (32 \cdot \frac{3}{3} - \frac{80}{3})$

ステップ 15.2.10

$32$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{9} \cdot (\frac{32 \cdot 3}{3} - \frac{80}{3})$

ステップ 15.2.11

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{9} \cdot \frac{32 \cdot 3 - 80}{3}$

ステップ 15.2.12

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.12.1

$32$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{9} \cdot \frac{96 - 80}{3}$

ステップ 15.2.12.2

$96$ から $80$ を引きます。

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{800}{9} \cdot \frac{16}{3}$

ステップ 15.2.13

$- \frac{800}{9} \cdot \frac{16}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.13.1

$\frac{16}{3}$ に $\frac{800}{9}$ をかけます。

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{16 \cdot 800}{3 \cdot 9}$

ステップ 15.2.13.2

$16$ に $800$ をかけます。

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{12800}{3 \cdot 9}$

ステップ 15.2.13.3

$3$ に $9$ をかけます。

$f (\frac{40}{3}) = - \frac{12800}{27}$

ステップ 15.2.14

最終的な答えは $- \frac{12800}{27}$ です。

$y = - \frac{12800}{27}$

ステップ 16

$f (x) = x (20 - 2 x) (32 - 2 x)$ の極値です。

$(4, 1152)$ は極大値です

$(\frac{40}{3}, - \frac{12800}{27})$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例