微分積分例

$f (x) = \tan (x) - x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $\tan (x) - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (x) - 1 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\sec^{2} (x) - 1$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

項を並べ替えます。

$- 1 + \sec^{2} (x)$

ステップ 1.4.2

$- 1$ と $\sec^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\sec^{2} (x) - 1$

ステップ 1.4.3

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\tan^{2} (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\tan (x)$ とします。

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (\tan (x))$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$f'' (x) = 2 \tan (x) \frac{d}{d x} (\tan (x))$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$f'' (x) = 2 \tan (x) \sec^{2} (x)$

ステップ 2.3

$2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\tan^{2} (x) = 0$

ステップ 4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\tan (x) = \pm \sqrt{0}$

ステップ 5

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\tan (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\tan (x) = \pm 0$

ステップ 5.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$\tan (x) = 0$

ステップ 6

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (0)$

ステップ 7

右辺を簡約します。

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ステップ 7.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 8

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + 0$

ステップ 9

$π$ と $0$ をたし算します。

$x = π$

ステップ 10

方程式 $x = 0$ に対する解です。

$x = 0, π$

ステップ 11

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 \sec^{2} (0) \tan (0)$

ステップ 12

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 12.1

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 \cdot 1^{2} \tan (0)$

ステップ 12.2

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \cdot 1 \tan (0)$

ステップ 12.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \tan (0)$

ステップ 12.4

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 \cdot 0$

ステップ 12.5

$2$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 13

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例