微分積分例

$f (x) = \sin (x^{2})$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (x^{2}) (2 x)$

ステップ 1.2.2

$\cos (x^{2}) (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$2 x \cos (x^{2})$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x \cos (x^{2})$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x \cos (x^{2})]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \cos (x^{2}))$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \cos (x^{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\cos (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (u) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} x^{2}) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (x (- \sin (x^{2}) (2 x)) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (x (- 2 \sin (x^{2}) x) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}) \cdot 1)$

ステップ 2.10

$\cos (x^{2})$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2})) + \cos (x^{2}))$

ステップ 2.11

簡約します。

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ステップ 2.11.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 2 (x^{2} (- 2 \sin (x^{2}))) + 2 \cos (x^{2})$

ステップ 2.11.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 x^{2} \sin (x^{2}) + 2 \cos (x^{2})$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$2 x \cos (x^{2}) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$\cos (x^{2}) = 0$

ステップ 5

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6

$\cos (x^{2})$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\cos (x^{2})$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x^{2}) = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\cos (x^{2}) = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

$u$ を $x^{2}$ に代入します。

$\cos (u) = 0$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $u$ を取り出します。

$u = \arccos (0)$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$u = \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$u = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.5

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.5.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$u = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.5.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.5.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$u = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$u = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 6.2.5.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.5.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 6.2.5.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$u = \frac{3 π}{2}$

ステップ 6.2.6

方程式 $u = \frac{π}{2}$ に対する解です。

$u = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

ステップ 6.2.7

$x^{2}$ を $u$ に代入し $x^{2} = \frac{π}{2}$ を解く

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ステップ 6.2.7.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{π}{2}}$

ステップ 6.2.7.2

$\pm \sqrt{\frac{π}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.2.1

$\sqrt{\frac{π}{2}}$ を $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$

ステップ 6.2.7.2.2

$\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 6.2.7.2.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.2.3.1

$\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 6.2.7.2.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 6.2.7.2.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 6.2.7.2.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 6.2.7.2.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 6.2.7.2.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.2.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6.2.7.2.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 6.2.7.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.2.7.2.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.2.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.2.7.2.3.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 6.2.7.2.3.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.2.7.2.4

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$

ステップ 6.2.7.2.5

$\pm \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ の因数を並べ替えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

ステップ 6.2.7.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

ステップ 6.2.7.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

ステップ 6.2.7.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{2 π}}{2}, - \frac{\sqrt{2 π}}{2}$

ステップ 6.2.8

$x^{2}$ を $u$ に代入し $x^{2} = \frac{3 π}{2}$ を解く

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ステップ 6.2.8.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$

ステップ 6.2.8.2

$\pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.2.1

$\sqrt{\frac{3 π}{2}}$ を $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$

ステップ 6.2.8.2.2

$\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 6.2.8.2.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.2.3.1

$\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 6.2.8.2.3.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 6.2.8.2.3.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 6.2.8.2.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 6.2.8.2.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 6.2.8.2.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.2.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 6.2.8.2.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 6.2.8.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.2.8.2.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.2.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 6.2.8.2.3.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 6.2.8.2.3.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.2.8.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.2.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 π \cdot 2}}{2}$

ステップ 6.2.8.2.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

ステップ 6.2.8.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

ステップ 6.2.8.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

ステップ 6.2.8.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

ステップ 7

最終解は $2 x \cos (x^{2}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 4 {(0)}^{2} \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 4 \cdot 0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

ステップ 9.1.2

$- 4$ に $0$ をかけます。

$0 \sin ({(0)}^{2}) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

ステップ 9.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 \sin (0) + 2 \cos ({(0)}^{2})$

ステップ 9.1.4

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0 \cdot 0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

ステップ 9.1.5

$0$ に $0$ をかけます。

$0 + 2 \cos ({(0)}^{2})$

ステップ 9.1.6

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 2 \cos (0)$

ステップ 9.1.7

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 2 \cdot 1$

ステップ 9.1.8

$2$ に $1$ をかけます。

$0 + 2$

ステップ 9.2

$0$ と $2$ をたし算します。

$2$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \sin ({(0)}^{2})$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \sin (0)$

ステップ 11.2.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f (0) = 0$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 12

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 4 {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ に当てはめます。

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.2

${\sqrt{6 π}}^{2}$ を $6 π$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6 π}$ を ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.2.4.2

式を書き換えます。

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.2.5

簡約します。

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.4.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.4.2

共通因数を約分します。

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.4.3

式を書き換えます。

$- 1 (6 π) \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.5

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 π \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.6

積の法則を $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ に当てはめます。

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.7

${\sqrt{6 π}}^{2}$ を $6 π$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6 π}$ を ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.7.4.1

共通因数を約分します。

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.7.4.2

式を書き換えます。

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.7.5

簡約します。

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.8

$2$ を $2$ 乗します。

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.9

$6$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.9.1

$2$ を $6 π$ で因数分解します。

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.9.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.9.2.2

共通因数を約分します。

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.9.2.3

式を書き換えます。

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.10

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.11

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.12

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.13

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$6 π + 2 \cos ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 13.1.14

積の法則を $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ に当てはめます。

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 13.1.15

${\sqrt{6 π}}^{2}$ を $6 π$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.15.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6 π}$ を ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 13.1.15.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

ステップ 13.1.15.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

ステップ 13.1.15.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.15.4.1

共通因数を約分します。

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

ステップ 13.1.15.4.2

式を書き換えます。

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

ステップ 13.1.15.5

簡約します。

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

ステップ 13.1.16

$2$ を $2$ 乗します。

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

ステップ 13.1.17

$6$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.17.1

$2$ を $6 π$ で因数分解します。

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

ステップ 13.1.17.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.17.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

ステップ 13.1.17.2.2

共通因数を約分します。

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

ステップ 13.1.17.2.3

式を書き換えます。

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

ステップ 13.1.18

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 13.1.19

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$6 π + 2 \cdot 0$

ステップ 13.1.20

$2$ に $0$ をかけます。

$6 π + 0$

ステップ 13.2

$6 π$ と $0$ をたし算します。

$6 π$

ステップ 14

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ は極小値です

ステップ 15

$x = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

積の法則を $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 15.2.2

${\sqrt{6 π}}^{2}$ を $6 π$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6 π}$ を ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 15.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

ステップ 15.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

ステップ 15.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

ステップ 15.2.2.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

ステップ 15.2.2.5

簡約します。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

ステップ 15.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

ステップ 15.2.4

$6$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.1

$2$ を $6 π$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

ステップ 15.2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

ステップ 15.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

ステップ 15.2.4.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 15.2.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 15.2.6

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

ステップ 15.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

ステップ 15.2.8

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 16

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 4 {(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ に当てはめます。

$- 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ に当てはめます。

$- 4 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 4 (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.3

$\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- 4 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.4

${\sqrt{6 π}}^{2}$ を $6 π$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6 π}$ を ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 4 \frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.4.4.1

共通因数を約分します。

$- 4 \frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.4.4.2

式を書き換えます。

$- 4 \frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.4.5

簡約します。

$- 4 \frac{6 π}{2^{2}} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$- 4 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.6

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.6.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$4 (- 1) \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.6.2

共通因数を約分します。

$4 \cdot - 1 \frac{6 π}{4} \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.6.3

式を書き換えます。

$- 1 (6 π) \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.7

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 π \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.8

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.8.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ に当てはめます。

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.8.2

積の法則を $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ に当てはめます。

$- 6 π \sin ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.9

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 6 π \sin (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.10

$\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- 6 π \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.11

${\sqrt{6 π}}^{2}$ を $6 π$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.11.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6 π}$ を ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- 6 π \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.11.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.11.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.11.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.11.4.1

共通因数を約分します。

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.11.4.2

式を書き換えます。

$- 6 π \sin (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.11.5

簡約します。

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{2^{2}}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.12

$2$ を $2$ 乗します。

$- 6 π \sin (\frac{6 π}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.13

$6$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.13.1

$2$ を $6 π$ で因数分解します。

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{4}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.13.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.13.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.13.2.2

共通因数を約分します。

$- 6 π \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.13.2.3

式を書き換えます。

$- 6 π \sin (\frac{3 π}{2}) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.14

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- 6 π (- \sin (\frac{π}{2})) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.15

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 6 π (- 1 \cdot 1) + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.16

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 6 π \cdot - 1 + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.17

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$6 π + 2 \cos ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.18

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.18.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ に当てはめます。

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 17.1.18.2

積の法則を $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ に当てはめます。

$6 π + 2 \cos ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 17.1.19

$- 1$ を $2$ 乗します。

$6 π + 2 \cos (1 \frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 17.1.20

$\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$6 π + 2 \cos (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 17.1.21

${\sqrt{6 π}}^{2}$ を $6 π$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.21.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6 π}$ を ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$6 π + 2 \cos (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 17.1.21.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

ステップ 17.1.21.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

ステップ 17.1.21.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.21.4.1

共通因数を約分します。

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

ステップ 17.1.21.4.2

式を書き換えます。

$6 π + 2 \cos (\frac{{(6 π)}^{1}}{2^{2}})$

ステップ 17.1.21.5

簡約します。

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{2^{2}})$

ステップ 17.1.22

$2$ を $2$ 乗します。

$6 π + 2 \cos (\frac{6 π}{4})$

ステップ 17.1.23

$6$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.23.1

$2$ を $6 π$ で因数分解します。

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{4})$

ステップ 17.1.23.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.23.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

ステップ 17.1.23.2.2

共通因数を約分します。

$6 π + 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

ステップ 17.1.23.2.3

式を書き換えます。

$6 π + 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

ステップ 17.1.24

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$6 π + 2 \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 17.1.25

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$6 π + 2 \cdot 0$

ステップ 17.1.26

$2$ に $0$ をかけます。

$6 π + 0$

ステップ 17.2

$6 π$ と $0$ をたし算します。

$6 π$

ステップ 18

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ は極小値です

ステップ 19

$x = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- \frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6 π}}{2})}^{2})$

ステップ 19.2.1.2

積の法則を $\frac{\sqrt{6 π}}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 19.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (1 (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}))$

ステップ 19.2.2.2

$\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{\sqrt{6 π}}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 19.2.3

${\sqrt{6 π}}^{2}$ を $6 π$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6 π}$ を ${(6 π)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{({(6 π)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

ステップ 19.2.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

ステップ 19.2.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

ステップ 19.2.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{{(6 π)}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

ステップ 19.2.3.4.2

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

ステップ 19.2.3.5

簡約します。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{2^{2}})$

ステップ 19.2.4

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

ステップ 19.2.5

$6$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.5.1

$2$ を $6 π$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

ステップ 19.2.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.5.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

ステップ 19.2.5.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

ステップ 19.2.5.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 19.2.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 19.2.7

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1 \cdot 1$

ステップ 19.2.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{\sqrt{6 π}}{2}) = - 1$

ステップ 19.2.9

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 20

$f (x) = \sin (x^{2})$ の極値です。

$(0, 0)$ は極小値です

$(\frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ は極小値です

$(- \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - 1)$ は極小値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例