微分積分例

$g (x) = e^{x} - x$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $e^{x} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{x} - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} - 1 \cdot 1$

ステップ 1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{x} - 1$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $e^{x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$g'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 1)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$g'' (x) = e^{x} + 0$

ステップ 2.3.2

$e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$g'' (x) = e^{x}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$e^{x} - 1 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1.1

総和則では、 $e^{x} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{x} - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} - 1 \cdot 1$

ステップ 4.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = e^{x} - 1$

ステップ 4.2

$x$ に関する $g (x)$ の一次導関数は $e^{x} - 1$ です。

$e^{x} - 1$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $e^{x} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$e^{x} - 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$e^{x} = 1$

ステップ 5.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

ステップ 5.4

左辺を展開します。

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ステップ 5.4.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (1)$

ステップ 5.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (1)$

ステップ 5.4.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (1)$

ステップ 5.5

$1$ の自然対数は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$e^{0}$

ステップ 9

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$g (0) = e^{0} - (0)$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$g (0) = 1 - (0)$

ステップ 11.2.2

$1$ から $0$ を引きます。

$g (0) = 1$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 12

$g (x) = e^{x} - x$ の極値です。

$(0, 1)$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例