微分積分例

$G (t) = 500 (3 t^{2} + 100 t + 150)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$500$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $500 (3 t^{2} + 100 t + 150)$ の微分係数は $500 \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 100 t + 150]$ です。

$500 \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 100 t + 150]$

ステップ 1.2

総和則では、 $3 t^{2} + 100 t + 150$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [100 t] + \frac{d}{d t} [150]$ です。

$500 (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [100 t] + \frac{d}{d t} [150])$

ステップ 1.3

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$500 (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [100 t] + \frac{d}{d t} [150])$

ステップ 1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$500 (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [100 t] + \frac{d}{d t} [150])$

ステップ 1.5

$2$ に $3$ をかけます。

$500 (6 t + \frac{d}{d t} [100 t] + \frac{d}{d t} [150])$

ステップ 1.6

$100$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $100 t$ の微分係数は $100 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$500 (6 t + 100 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [150])$

ステップ 1.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$500 (6 t + 100 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [150])$

ステップ 1.8

$100$ に $1$ をかけます。

$500 (6 t + 100 + \frac{d}{d t} [150])$

ステップ 1.9

$150$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $150$ の微分係数は $0$ です。

$500 (6 t + 100 + 0)$

ステップ 1.10

$6 t + 100$ と $0$ をたし算します。

$500 (6 t + 100)$

ステップ 1.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.11.1

分配則を当てはめます。

$500 (6 t) + 500 \cdot 100$

ステップ 1.11.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.11.2.1

$6$ に $500$ をかけます。

$3000 t + 500 \cdot 100$

ステップ 1.11.2.2

$500$ に $100$ をかけます。

$3000 t + 50000$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3000 t + 50000$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3000 t] + \frac{d}{d t} [50000]$ です。

$G'' (t) = \frac{d}{d t} (3000 t) + \frac{d}{d t} (50000)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d t} [3000 t]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3000$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3000 t$ の微分係数は $3000 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$G'' (t) = 3000 \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (50000)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$G'' (t) = 3000 \cdot 1 + \frac{d}{d t} (50000)$

ステップ 2.2.3

$3000$ に $1$ をかけます。

$G'' (t) = 3000 + \frac{d}{d t} (50000)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$50000$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $50000$ の微分係数は $0$ です。

$G'' (t) = 3000 + 0$

ステップ 2.3.2

$3000$ と $0$ をたし算します。

$G'' (t) = 3000$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3000 t + 50000 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$500$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $500 (3 t^{2} + 100 t + 150)$ の微分係数は $500 \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 100 t + 150]$ です。

$500 \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 100 t + 150]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $3 t^{2} + 100 t + 150$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [100 t] + \frac{d}{d t} [150]$ です。

$500 (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [100 t] + \frac{d}{d t} [150])$

ステップ 4.1.3

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ です。

$500 (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [100 t] + \frac{d}{d t} [150])$

ステップ 4.1.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$500 (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [100 t] + \frac{d}{d t} [150])$

ステップ 4.1.5

$2$ に $3$ をかけます。

$500 (6 t + \frac{d}{d t} [100 t] + \frac{d}{d t} [150])$

ステップ 4.1.6

$100$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $100 t$ の微分係数は $100 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$500 (6 t + 100 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [150])$

ステップ 4.1.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$500 (6 t + 100 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [150])$

ステップ 4.1.8

$100$ に $1$ をかけます。

$500 (6 t + 100 + \frac{d}{d t} [150])$

ステップ 4.1.9

$150$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $150$ の微分係数は $0$ です。

$500 (6 t + 100 + 0)$

ステップ 4.1.10

$6 t + 100$ と $0$ をたし算します。

$500 (6 t + 100)$

ステップ 4.1.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.11.1

分配則を当てはめます。

$500 (6 t) + 500 \cdot 100$

ステップ 4.1.11.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.11.2.1

$6$ に $500$ をかけます。

$3000 t + 500 \cdot 100$

ステップ 4.1.11.2.2

$500$ に $100$ をかけます。

$f' (t) = 3000 t + 50000$

ステップ 4.2

$t$ に関する $G (t)$ の一次導関数は $3000 t + 50000$ です。

$3000 t + 50000$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3000 t + 50000 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3000 t + 50000 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $50000$ を引きます。

$3000 t = - 50000$

ステップ 5.3

$3000 t = - 50000$ の各項を $3000$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$3000 t = - 50000$ の各項を $3000$ で割ります。

$\frac{3000 t}{3000} = \frac{- 50000}{3000}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$3000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3000 t}{3000} = \frac{- 50000}{3000}$

ステップ 5.3.2.1.2

$t$ を $1$ で割ります。

$t = \frac{- 50000}{3000}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$- 50000$ と $3000$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

$1000$ を $- 50000$ で因数分解します。

$t = \frac{1000 (- 50)}{3000}$

ステップ 5.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.2.1

$1000$ を $3000$ で因数分解します。

$t = \frac{1000 \cdot - 50}{1000 \cdot 3}$

ステップ 5.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$t = \frac{1000 \cdot - 50}{1000 \cdot 3}$

ステップ 5.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$t = \frac{- 50}{3}$

ステップ 5.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$t = - \frac{50}{3}$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$t = - \frac{50}{3}$

ステップ 8

$t = - \frac{50}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$3000$

ステップ 9

$t = - \frac{50}{3}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$t = - \frac{50}{3}$ は極小値です

ステップ 10

$t = - \frac{50}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

式の変数 $t$ を $- \frac{50}{3}$ で置換えます。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (3 {(- \frac{50}{3})}^{2} + 100 (- \frac{50}{3}) + 150)$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{50}{3}$ に当てはめます。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{50}{3})}^{2}) + 100 (- \frac{50}{3}) + 150)$

ステップ 10.2.1.1.2

積の法則を $\frac{50}{3}$ に当てはめます。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (3 ({(- 1)}^{2} (\frac{50^{2}}{3^{2}})) + 100 (- \frac{50}{3}) + 150)$

ステップ 10.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (3 (1 (\frac{50^{2}}{3^{2}})) + 100 (- \frac{50}{3}) + 150)$

ステップ 10.2.1.3

$\frac{50^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (3 (\frac{50^{2}}{3^{2}}) + 100 (- \frac{50}{3}) + 150)$

ステップ 10.2.1.4

$50$ を $2$ 乗します。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (3 (\frac{2500}{3^{2}}) + 100 (- \frac{50}{3}) + 150)$

ステップ 10.2.1.5

$3$ を $2$ 乗します。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (3 (\frac{2500}{9}) + 100 (- \frac{50}{3}) + 150)$

ステップ 10.2.1.6

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.6.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (3 (\frac{2500}{3 (3)}) + 100 (- \frac{50}{3}) + 150)$

ステップ 10.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (3 (\frac{2500}{3 \cdot 3}) + 100 (- \frac{50}{3}) + 150)$

ステップ 10.2.1.6.3

式を書き換えます。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (\frac{2500}{3} + 100 (- \frac{50}{3}) + 150)$

ステップ 10.2.1.7

$100 (- \frac{50}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.7.1

$- 1$ に $100$ をかけます。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (\frac{2500}{3} - 100 (\frac{50}{3}) + 150)$

ステップ 10.2.1.7.2

$- 100$ と $\frac{50}{3}$ をまとめます。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (\frac{2500}{3} + \frac{- 100 \cdot 50}{3} + 150)$

ステップ 10.2.1.7.3

$- 100$ に $50$ をかけます。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (\frac{2500}{3} + \frac{- 5000}{3} + 150)$

ステップ 10.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (\frac{2500}{3} - \frac{5000}{3} + 150)$

ステップ 10.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (150 + \frac{2500 - 5000}{3})$

ステップ 10.2.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

$2500$ から $5000$ を引きます。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (150 + \frac{- 2500}{3})$

ステップ 10.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (150 - \frac{2500}{3})$

ステップ 10.2.3

$150$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (150 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2500}{3})$

ステップ 10.2.4

$150$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (\frac{150 \cdot 3}{3} - \frac{2500}{3})$

ステップ 10.2.5

公分母の分子をまとめます。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (\frac{150 \cdot 3 - 2500}{3})$

ステップ 10.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.6.1

$150$ に $3$ をかけます。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (\frac{450 - 2500}{3})$

ステップ 10.2.6.2

$450$ から $2500$ を引きます。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (\frac{- 2050}{3})$

ステップ 10.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$G (- \frac{50}{3}) = 500 (- \frac{2050}{3})$

ステップ 10.2.8

$500 (- \frac{2050}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.8.1

$- 1$ に $500$ をかけます。

$G (- \frac{50}{3}) = - 500 (\frac{2050}{3})$

ステップ 10.2.8.2

$- 500$ と $\frac{2050}{3}$ をまとめます。

$G (- \frac{50}{3}) = \frac{- 500 \cdot 2050}{3}$

ステップ 10.2.8.3

$- 500$ に $2050$ をかけます。

$G (- \frac{50}{3}) = \frac{- 1025000}{3}$

ステップ 10.2.9

分数の前に負数を移動させます。

$G (- \frac{50}{3}) = - \frac{1025000}{3}$

ステップ 10.2.10

最終的な答えは $- \frac{1025000}{3}$ です。

$y = - \frac{1025000}{3}$

ステップ 11

$G (t) = 500 (3 t^{2} + 100 t + 150)$ の極値です。

$(- \frac{50}{3}, - \frac{1025000}{3})$ は極小値です

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例