微分積分例

$f (x) = x + 1 - \sqrt{x^{2} + x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x + 1 - \sqrt{x^{2} + x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

ステップ 1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

ステップ 1.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + x}$ を ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$1 + 0 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$1 + 0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + x$ とします。

$1 + 0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

ステップ 1.2.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

ステップ 1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + x$ で置き換えます。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

ステップ 1.2.4

総和則では、 $x^{2} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))$

ステップ 1.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 1))$

ステップ 1.2.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))$

ステップ 1.2.9

公分母の分子をまとめます。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))$

ステップ 1.2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 1))$

ステップ 1.2.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 1))$

ステップ 1.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1))$

ステップ 1.2.12

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$1 + 0 - (\frac{{(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x + 1))$

ステップ 1.2.13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$1 + 0 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

ステップ 1.3.2

項を並べ替えます。

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [(2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} ((2 x + 1) (\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.2

$f (x) = 2 x + 1$ および $g (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}})) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.4

$\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1})) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.5

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.5.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.5.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2} + x$ とします。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + x)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + x)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} + x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + x)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.7

総和則では、 $x^{2} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (x)))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x + 1)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.10

総和則では、 $2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

ステップ 2.2.11

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

ステップ 2.2.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

ステップ 2.2.13

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

ステップ 2.2.14

${({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.14.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.14.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.14.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.14.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.14.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.15

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.16

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.17

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.18

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.18.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.18.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.19

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot ({(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1))))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.20

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{{(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (2 x + 1)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.21

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- {(x^{2} + x)}^{- 1} (\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 1)))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.22

$\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ と ${(x^{2} + x)}^{- 1}$ をまとめます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{{(x^{2} + x)}^{- 1}}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.23

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + x)}^{- 1}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + x)} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.24

指数を足して ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ に $x^{2} + x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.24.1

$x^{2} + x$ を移動させます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 ((x^{2} + x) {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.24.2

$x^{2} + x$ に ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.24.2.1

$x^{2} + x$ を $1$ 乗します。

ステップ 2.2.24.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{1 + \frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.24.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.24.4

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{2 + 1}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.24.5

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (\frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (2 x + 1))) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.25

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ をかけます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (- \frac{1}{2 (2 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}})} \cdot (2 x + 1)) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.26

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - ((2 x + 1) (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (2 x + 1)) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.27

$2 x + 1$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot ((2 x + 1) (2 x + 1)) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.28

$2 x + 1$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot ((2 x + 1) (2 x + 1)) + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.29

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot {(2 x + 1)}^{1 + 1} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.30

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - (- \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot {(2 x + 1)}^{2} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.31

${(2 x + 1)}^{2}$ と $\frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.32

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 + 0)) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.33

$2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.34

$\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ と $2$ をまとめます。

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.35

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.36

式を書き換えます。

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.37

$\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}$ を掛けます。

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.38

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.38.1

$\frac{1}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}$ をかけます。

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} (4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}})}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.38.2

指数を足して ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.38.2.1

${(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}$ を移動させます。

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.38.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.38.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.38.2.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.38.3

${(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 4$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = - (- \frac{{(2 x + 1)}^{2}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.39

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.40

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.40.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 {(x^{2} + x)}^{\frac{2}{2}}}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.40.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 (x^{2} + x)}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.2.41

簡約します。

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 (x^{2} + x)}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 (x^{2} + x)}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + 0$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}} + 0$

ステップ 2.4.2

$- \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{- {(2 x + 1)}^{2} + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.1

${(2 x + 1)}^{2}$ を $(2 x + 1) (2 x + 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{- ((2 x + 1) (2 x + 1)) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x + 1) (2 x + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.2.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{- (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3.2.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{- (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3.2.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{- (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{- (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{- (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3.3.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3.3.1.5

$2 x$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3.3.1.6

$1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3.3.2

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2} + 4 x + 1) + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3.4

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{- (4 x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.5.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 4 x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3.5.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 4 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1 + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3.5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 4 x^{2} - 4 x - 1 + 4 x^{2} + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3.6

$- 4 x^{2}$ と $4 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 1 + 0 + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3.7

$- 4 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 1 + 4 x}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3.8

$- 4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{0 - 1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.3.9

$0$ から $1$ を引きます。

$f'' (x) = - \frac{- 1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.4

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.4.5

$- - \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 2.4.5.2

$\frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1}{4 {(x^{2} + x)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x + 1 - \sqrt{x^{2} + x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

ステップ 4.1.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + x}$ を ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$1 + 0 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$1 + 0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.1.2.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + x$ とします。

$1 + 0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

ステップ 4.1.2.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

ステップ 4.1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + x$ で置き換えます。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + x])$

ステップ 4.1.2.4

総和則では、 $x^{2} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.1.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 1))$

ステップ 4.1.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 1))$

ステップ 4.1.2.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))$

ステップ 4.1.2.9

公分母の分子をまとめます。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 1))$

ステップ 4.1.2.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 1))$

ステップ 4.1.2.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 1))$

ステップ 4.1.2.11

分数の前に負数を移動させます。

$1 + 0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 1))$

ステップ 4.1.2.12

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$1 + 0 - (\frac{{(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x + 1))$

ステップ 4.1.2.13

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$1 + 0 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

ステップ 4.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$1 - \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 1)$

ステップ 4.1.3.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$ です。

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

ステップ 5.2

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

分配則を当てはめます。

$(- (2 x) - 1 \cdot 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

ステップ 5.2.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(- 2 x - 1 \cdot 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

ステップ 5.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(- 2 x - 1) \frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

ステップ 5.2.1.4

$- 2 x - 1$ に $\frac{1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{- 2 x - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 = 0$

ステップ 5.2.2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- 2 x - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2 x - 1 + 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5.2.2.3

項を並べ替えます。

$\frac{- 2 x + 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5.2.2.4

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x) + 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5.2.2.5

$- 1$ を $2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x) - (- 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5.2.2.6

$- 1$ を $- (2 x) - (- 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5.2.2.7

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (1)}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5.2.2.8

$- 1$ を $- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5.2.2.9

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.9.1

$- (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1)$ を $- 1 (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1)}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5.2.2.9.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x - 2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}} + 1}{2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5.3

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

解がありません

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 6.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 \sqrt{{(x^{2} + x)}^{1}}} + 1$

ステップ 6.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$- (2 x + 1) \frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}} + 1$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{2} + x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 \sqrt{x^{2} + x} = 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{x^{2} + x})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + x}$ を ${(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.2.1

${(2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

積の法則を $2 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.3

${({(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 {(x^{2} + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 {(x^{2} + x)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.4

簡約します。

$4 (x^{2} + x) = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} + 4 x = 0^{2}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 x^{2} + 4 x = 0$

ステップ 6.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$4 x$ を $4 x^{2} + 4 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1.1

$4 x$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$4 x (x) + 4 x = 0$

ステップ 6.3.3.1.2

$4 x$ を $4 x$ で因数分解します。

$4 x (x) + 4 x (1) = 0$

ステップ 6.3.3.1.3

$4 x$ を $4 x (x) + 4 x (1)$ で因数分解します。

$4 x (x + 1) = 0$

ステップ 6.3.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 6.3.3.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6.3.3.4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.3.3.4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 6.3.3.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 6.3.3.5

最終解は $4 x (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 1$

ステップ 6.4

$\sqrt{x^{2} + x}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + x < 0$

ステップ 6.5

$x$ について解きます。

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ステップ 6.5.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} + x = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ を $x^{2} + x$ で因数分解します。

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ステップ 6.5.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x + x = 0$

ステップ 6.5.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$x \cdot x + x = 0$

ステップ 6.5.2.3

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot 1 = 0$

ステップ 6.5.2.4

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 1$ で因数分解します。

$x (x + 1) = 0$

ステップ 6.5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 6.5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6.5.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 6.5.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 6.5.6

最終解は $x (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 1$

ステップ 6.5.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

ステップ 6.5.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.5.8.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.8.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 6.5.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

${(- 4)}^{2} - 4 < 0$

ステップ 6.5.8.1.3

左辺 $12$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.5.8.2

区間 $- 1 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.5.8.2.1

区間 $- 1 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 0.5$

ステップ 6.5.8.2.2

$x$ を元の不等式の $- 0.5$ で置き換えます。

${(- 0.5)}^{2} - 0.5 < 0$

ステップ 6.5.8.2.3

左辺 $- 0.25$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 6.5.8.3

区間 $x > 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.5.8.3.1

区間 $x > 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 6.5.8.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

${(2)}^{2} + 2 < 0$

ステップ 6.5.8.3.3

左辺 $6$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 6.5.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 0$ 真

$x > 0$ 偽

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < 0$ 真

$x > 0$ 偽

ステップ 6.5.9

解はすべての真の区間からなります。

$- 1 < x < 0$

ステップ 6.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$- 1 \leq x \leq 0$

$[- 1, 0]$

$- 1 \leq x \leq 0$

$[- 1, 0]$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = - 1, 0$

ステップ 8

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{1}{4 {({(- 1)}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

括弧を削除します。

$\frac{1}{4 {({(- 1)}^{2} - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{4 {(1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{4 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.4

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 9.1.5

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 9.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 9.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{4 \cdot 0^{3}}$

ステップ 9.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{4 \cdot 0}$

ステップ 9.3.2

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{0}$

ステップ 9.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{0}$

ステップ 9.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 10

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例