微分積分例

$f (x) = x + 3 \cos (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x + 3 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \cos (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$1 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$1 + 3 (- \sin (x))$

ステップ 1.2.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$1 - 3 \sin (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $1 - 3 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

ステップ 2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 \sin (x)$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$f'' (x) = 0 - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = 0 - 3 \cos (x)$

ステップ 2.3

$0$ から $3 \cos (x)$ を引きます。

$f'' (x) = - 3 \cos (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$1 - 3 \sin (x) = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 3 \sin (x) = - 1$

ステップ 5

$- 3 \sin (x) = - 1$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$- 3 \sin (x) = - 1$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 \sin (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 \sin (x)}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 5.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sin (x) = \frac{1}{3}$

ステップ 6

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1}{3})$

ステップ 7

右辺を簡約します。

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ステップ 7.1

$\arcsin (\frac{1}{3})$ の値を求めます。

$x = 0.3398369$

ステップ 8

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

ステップ 9

$x$ について解きます。

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ステップ 9.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 - 0.3398369$

ステップ 9.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) - 0.3398369$

ステップ 9.3

$3.14159265$ から $0.3398369$ を引きます。

$x = 2.80175574$

ステップ 10

方程式 $x = 0.3398369$ に対する解です。

$x = 0.3398369, 2.80175574$

ステップ 11

$x = 0.3398369$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 3 \cos (0.3398369)$

ステップ 12

$x = 0.3398369$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0.3398369$ は極大値です

ステップ 13

$x = 0.3398369$ のときy値を求めます。

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ステップ 13.1

式の変数 $x$ を $0.3398369$ で置換えます。

$f (0.3398369) = (0.3398369) + 3 \cos (0.3398369)$

ステップ 13.2

結果を簡約します。

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ステップ 13.2.1

$0.3398369$ と $3 \cos (0.3398369)$ をたし算します。

$f (0.3398369) = 3.16826403$

ステップ 13.2.2

最終的な答えは $3.16826403$ です。

$y = 3.16826403$

ステップ 14

$x = 2.80175574$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 3 \cos (2.80175574)$

ステップ 15

$x = 2.80175574$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2.80175574$ は極小値です

ステップ 16

$x = 2.80175574$ のときy値を求めます。

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ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $2.80175574$ で置換えます。

$f (2.80175574) = (2.80175574) + 3 \cos (2.80175574)$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

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ステップ 16.2.1

$2.80175574$ と $3 \cos (2.80175574)$ をたし算します。

$f (2.80175574) = - 0.02667138$

ステップ 16.2.2

最終的な答えは $- 0.02667138$ です。

$y = - 0.02667138$

ステップ 17

$f (x) = x + 3 \cos (x)$ の極値です。

$(0.3398369, 3.16826403)$ は極大値です

$(2.80175574, - 0.02667138)$ は極小値です

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例