微分積分例

$f (x) = x - 5 \ln (3 x - 9)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x - 5 \ln (3 x - 9)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

ステップ 1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 \ln (3 x - 9)$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ です。

$1 - 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3 x - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 9$ とします。

$1 - 5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

ステップ 1.2.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$1 - 5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 9$ で置き換えます。

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $3 x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

ステップ 1.2.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

ステップ 1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

ステップ 1.2.6

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

ステップ 1.2.7

$3$ に $1$ をかけます。

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

ステップ 1.2.8

$3$ と $0$ をたし算します。

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

ステップ 1.2.9

$\frac{1}{3 x - 9}$ と $3$ をまとめます。

$1 - 5 \frac{3}{3 x - 9}$

ステップ 1.2.10

$3$ と $3 x - 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

ステップ 1.2.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.2.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

ステップ 1.2.10.2.2

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

ステップ 1.2.10.2.3

$3$ を $3 (x) + 3 (- 3)$ で因数分解します。

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

ステップ 1.2.10.2.4

共通因数を約分します。

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

ステップ 1.2.10.2.5

式を書き換えます。

$1 - 5 \frac{1}{x - 3}$

ステップ 1.2.11

$- 5$ と $\frac{1}{x - 3}$ をまとめます。

$1 + \frac{- 5}{x - 3}$

ステップ 1.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$1 - \frac{5}{x - 3}$

ステップ 1.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{x - 3}$

ステップ 1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x - 3 - 5}{x - 3}$

ステップ 1.3.3

$- 3$ から $5$ を引きます。

$\frac{x - 8}{x - 3}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x - 8$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x - 8) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.3

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (1 + 0) - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) \cdot 1 - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.4.2

$x - 3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.5

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.7

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{x - 3 - (x - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{x - 3 - x + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$x - 3 - x - - 8$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{0 - 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2

$0$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.2

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 3 + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.3

$- 3$ と $8$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{5}{{(x - 3)}^{2}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{x - 8}{x - 3} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x - 5 \ln (3 x - 9)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- 5 \ln (3 x - 9)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 \ln (3 x - 9)$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ です。

$1 - 5 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

ステップ 4.1.2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3 x - 9$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 9$ とします。

$1 - 5 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

ステップ 4.1.2.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$1 - 5 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

ステップ 4.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 9$ で置き換えます。

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

ステップ 4.1.2.3

総和則では、 $3 x - 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ です。

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

ステップ 4.1.2.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

ステップ 4.1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

ステップ 4.1.2.6

$- 9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 9$ の微分係数は $0$ です。

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

ステップ 4.1.2.7

$3$ に $1$ をかけます。

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

ステップ 4.1.2.8

$3$ と $0$ をたし算します。

$1 - 5 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

ステップ 4.1.2.9

$\frac{1}{3 x - 9}$ と $3$ をまとめます。

$1 - 5 \frac{3}{3 x - 9}$

ステップ 4.1.2.10

$3$ と $3 x - 9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.10.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

ステップ 4.1.2.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.10.2.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

ステップ 4.1.2.10.2.2

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

ステップ 4.1.2.10.2.3

$3$ を $3 (x) + 3 (- 3)$ で因数分解します。

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

ステップ 4.1.2.10.2.4

共通因数を約分します。

$1 - 5 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

ステップ 4.1.2.10.2.5

式を書き換えます。

$1 - 5 \frac{1}{x - 3}$

ステップ 4.1.2.11

$- 5$ と $\frac{1}{x - 3}$ をまとめます。

$1 + \frac{- 5}{x - 3}$

ステップ 4.1.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$1 - \frac{5}{x - 3}$

ステップ 4.1.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{5}{x - 3}$

ステップ 4.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x - 3 - 5}{x - 3}$

ステップ 4.1.3.3

$- 3$ から $5$ を引きます。

$f' (x) = \frac{x - 8}{x - 3}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x - 8}{x - 3}$ です。

$\frac{x - 8}{x - 3}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x - 8}{x - 3} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x - 8}{x - 3} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$x - 8 = 0$

ステップ 5.3

方程式の両辺に $8$ を足します。

$x = 8$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{x - 8}{x - 3}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 3 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 8$

ステップ 8

$x = 8$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{5}{{((8) - 3)}^{2}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$8$ から $3$ を引きます。

$\frac{5}{5^{2}}$

ステップ 9.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{5}{25}$

ステップ 9.2

$5$ と $25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$\frac{5 (1)}{25}$

ステップ 9.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$5$ を $25$ で因数分解します。

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

ステップ 9.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5}$

ステップ 9.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{5}$

ステップ 10

$x = 8$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 8$ は極小値です

ステップ 11

$x = 8$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $8$ で置換えます。

$f (8) = (8) - 5 \ln (3 (8) - 9)$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$3$ に $8$ をかけます。

$f (8) = 8 - 5 \ln (24 - 9)$

ステップ 11.2.1.2

$24$ から $9$ を引きます。

$f (8) = 8 - 5 \ln (15)$

ステップ 11.2.1.3

対数の中の $5$ を移動させて $- 5 \ln (15)$ を簡約します。

$f (8) = 8 - \ln (15^{5})$

ステップ 11.2.1.4

$15$ を $5$ 乗します。

$f (8) = 8 - \ln (759375)$

ステップ 11.2.2

最終的な答えは $8 - \ln (759375)$ です。

$y = 8 - \ln (759375)$

ステップ 12

$f (x) = x - 5 \ln (3 x - 9)$ の極値です。

$(8, 8 - \ln (759375))$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例