微分積分例

$f (x) = x - b \ln (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $x - b \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

ステップ 1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- b$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- b \ln (x)$ の微分係数は $- b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$1 - b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$1 - b \frac{1}{x}$

ステップ 1.2.3

$\frac{1}{x}$ と $b$ をまとめます。

$1 - \frac{b}{x}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $1 - \frac{b}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{b}{x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{b}{x})$

ステップ 2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{b}{x})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{b}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- b$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{b}{x}$ の微分係数は $- b \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$f'' (x) = 0 - b \frac{d}{d x} \frac{1}{x}$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 0 - b \frac{d}{d x} x^{- 1}$

ステップ 2.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 - b (- x^{- 2})$

ステップ 2.2.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 0 + 1 b x^{- 2}$

ステップ 2.2.5

$b$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 0 + b x^{- 2}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 0 + b (\frac{1}{x^{2}})$

ステップ 2.3.2

項をまとめます。

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ステップ 2.3.2.1

$b$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = 0 + \frac{b}{x^{2}}$

ステップ 2.3.2.2

$0$ と $\frac{b}{x^{2}}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{b}{x^{2}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$1 - \frac{b}{x} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

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ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

総和則では、 $x - b \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

ステップ 4.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- b \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- b$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- b \ln (x)$ の微分係数は $- b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$1 - b \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 4.1.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$1 - b \frac{1}{x}$

ステップ 4.1.2.3

$\frac{1}{x}$ と $b$ をまとめます。

$f' (x) = 1 - \frac{b}{x}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $1 - \frac{b}{x}$ です。

$1 - \frac{b}{x}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $1 - \frac{b}{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$1 - \frac{b}{x} = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \frac{b}{x} = - 1$

ステップ 5.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 5.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x, 1$

ステップ 5.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 5.4

$- \frac{b}{x} = - 1$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 5.4.1

$- \frac{b}{x} = - 1$ の各項に $x$ を掛けます。

$- \frac{b}{x} x = - x$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

$- \frac{b}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- b}{x} x = - x$

ステップ 5.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- b}{x} x = - x$

ステップ 5.4.2.1.3

式を書き換えます。

$- b = - x$

ステップ 5.5

方程式を解きます。

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ステップ 5.5.1

方程式を $- x = - b$ として書き換えます。

$- x = - b$

ステップ 5.5.2

$- x = - b$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$- x = - b$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- b}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- b}{- 1}$

ステップ 5.5.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- b}{- 1}$

ステップ 5.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{b}{1}$

ステップ 5.5.2.3.2

$b$ を $1$ で割ります。

$x = b$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 6.1

$\frac{b}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 6.2

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$b = 0$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = b$

ステップ 8

$x = b$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{b}{{(b)}^{2}}$

ステップ 9

$b$ と ${(b)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1

$b$ を $1$ 乗します。

$\frac{b^{1}}{{(b)}^{2}}$

ステップ 9.2

$b$ を $b^{1}$ で因数分解します。

$\frac{b \cdot 1}{{(b)}^{2}}$

ステップ 9.3

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1

$b$ を ${(b)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{b \cdot 1}{b \cdot b}$

ステップ 9.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{b \cdot 1}{b \cdot b}$

ステップ 9.3.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{b}$

ステップ 10

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例