微分積分例

$f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $x \sin (x) + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.2.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$x \cos (x) + \sin (x) - \sin (x)$

ステップ 1.4

項をまとめます。

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ステップ 1.4.1

$\sin (x)$ から $\sin (x)$ を引きます。

$x \cos (x) + 0$

ステップ 1.4.2

$x \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$x \cos (x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1$

ステップ 2.3.2

式を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x)$

ステップ 2.3.2.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = - x \sin (x) + \cos (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x \cos (x) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$\cos (x) = 0$

ステップ 5

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 6

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 6.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 6.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 6.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 6.2.5

方程式 $x = \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

ステップ 7

最終解は $x \cos (x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$0 \sin (0) + \cos (0)$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 9.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$0 \cdot 0 + \cos (0)$

ステップ 9.1.2

$0$ に $0$ をかけます。

$0 + \cos (0)$

ステップ 9.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 1$

ステップ 9.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$1$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極小値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = (0) \sin (0) + \cos (0)$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f (0) = 0 \cdot 0 + \cos (0)$

ステップ 11.2.1.2

$0$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + \cos (0)$

ステップ 11.2.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (0) = 0 + 1$

ステップ 11.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = 1$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 12

$x = \frac{π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 13.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{π}{2} \cdot 1 + \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 13.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 13.1.3

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$- \frac{π}{2} + 0$

ステップ 13.2

$- \frac{π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{π}{2}$

ステップ 14

$x = \frac{π}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{2}$ は極大値です

ステップ 15

$x = \frac{π}{2}$ のときy値を求めます。

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ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) \sin (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

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ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} \cdot 1 + \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 15.2.1.2

$\frac{π}{2}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 15.2.1.3

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

ステップ 15.2.2

$\frac{π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $\frac{π}{2}$ です。

$y = \frac{π}{2}$

ステップ 16

$x = \frac{3 π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{3 π}{2} \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{3 π}{2})$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 17.1

各項を簡約します。

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ステップ 17.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{3 π}{2} (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (\frac{3 π}{2})$

ステップ 17.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{3 π}{2} (- 1 \cdot 1) + \cos (\frac{3 π}{2})$

ステップ 17.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{3 π}{2} \cdot - 1 + \cos (\frac{3 π}{2})$

ステップ 17.1.4

$- \frac{3 π}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 17.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

ステップ 17.1.4.2

$\frac{3 π}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

ステップ 17.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{3 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 17.1.6

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{3 π}{2} + 0$

ステップ 17.2

$\frac{3 π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 18

$x = \frac{3 π}{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{3 π}{2}$ は極小値です

ステップ 19

$x = \frac{3 π}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{3 π}{2}) = (\frac{3 π}{2}) \sin (\frac{3 π}{2}) + \cos (\frac{3 π}{2})$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

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ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2})) + \cos (\frac{3 π}{2})$

ステップ 19.2.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot (- 1 \cdot 1) + \cos (\frac{3 π}{2})$

ステップ 19.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π}{2} \cdot - 1 + \cos (\frac{3 π}{2})$

ステップ 19.2.1.4

$\frac{3 π}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.4.1

$\frac{3 π}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{3 π \cdot - 1}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

ステップ 19.2.1.4.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{- 3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

ステップ 19.2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{3 π}{2})$

ステップ 19.2.1.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 19.2.1.7

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2} + 0$

ステップ 19.2.2

$- \frac{3 π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{3 π}{2}) = - \frac{3 π}{2}$

ステップ 19.2.3

最終的な答えは $- \frac{3 π}{2}$ です。

$y = - \frac{3 π}{2}$

ステップ 20

$f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$ の極値です。

$(0, 1)$ は極小値です

$(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ は極大値です

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2})$ は極小値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例