微分積分例

$g (x) = x - 2 \arctan (x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x - 2 \arctan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

ステップ 1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \arctan (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \arctan (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ です。

$1 - 2 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$1 - 2 \frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.2.3

$- 2$ と $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$1 + \frac{- 2}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$1 - \frac{2}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

項をまとめます。

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ステップ 1.3.1.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} - \frac{2}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.3.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + x^{2} - 2}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.3.1.3

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 1}{1 + x^{2}}$

ステップ 1.3.2

項を並べ替えます。

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{2} - 1$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.4.2

$2$ を $x^{2} + 1$ の左に移動させます。

$g'' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.5

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.2.8.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.8.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$g'' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.2

分配則を当てはめます。

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.3

分配則を当てはめます。

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.4

分配則を当てはめます。

$g'' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 1 x$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.3.5.1.1

$2 x^{2} x$ から $2 x^{2} x$ を引きます。

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 0 - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.1.2

$2 \cdot 1 x$ と $0$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.5.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{2 x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.2.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$g'' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.5.3

$2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$g'' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = 0$

ステップ 4

分子を0に等しくします。

$x^{2} - 1 = 0$

ステップ 5

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{2} = 1$

ステップ 5.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 5.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 5.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 5.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 5.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 6

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{4 (1)}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 7

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 7.1

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{4}{{(1 + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4}{2^{2}}$

ステップ 7.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{4}{4}$

ステップ 7.3

$4$ を $4$ で割ります。

$1$

ステップ 8

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 9

$x = 1$ のときy値を求めます。

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ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$g (1) = (1) - 2 \arctan (1)$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 9.2.1.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$g (1) = 1 - 2 \frac{π}{4}$

ステップ 9.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$g (1) = 1 + 2 (- 1) (\frac{π}{4})$

ステップ 9.2.1.2.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

ステップ 9.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$g (1) = 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 2})$

ステップ 9.2.1.2.4

式を書き換えます。

$g (1) = 1 - 1 \frac{π}{2}$

ステップ 9.2.1.3

$- 1 \frac{π}{2}$ を $- \frac{π}{2}$ に書き換えます。

$g (1) = 1 - \frac{π}{2}$

ステップ 9.2.2

最終的な答えは $1 - \frac{π}{2}$ です。

$y = 1 - \frac{π}{2}$

ステップ 10

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{4 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 11

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 11.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 4}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 11.2

分母を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 4}{{(1 + 1)}^{2}}$

ステップ 11.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 4}{2^{2}}$

ステップ 11.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 4}{4}$

ステップ 11.3

$- 4$ を $4$ で割ります。

$- 1$

ステップ 12

$x = - 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - 1$ は極大値です

ステップ 13

$x = - 1$ のときy値を求めます。

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ステップ 13.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$g (- 1) = (- 1) - 2 \arctan (- 1)$

ステップ 13.2

結果を簡約します。

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ステップ 13.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.2.1.1

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$g (- 1) = - 1 - 2 (- \frac{π}{4})$

ステップ 13.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.2.1

$- \frac{π}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$g (- 1) = - 1 - 2 \frac{- π}{4}$

ステップ 13.2.1.2.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$g (- 1) = - 1 + 2 (- 1) (\frac{- π}{4})$

ステップ 13.2.1.2.3

$2$ を $4$ で因数分解します。

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

ステップ 13.2.1.2.4

共通因数を約分します。

$g (- 1) = - 1 + 2 \cdot (- 1 \frac{- π}{2 \cdot 2})$

ステップ 13.2.1.2.5

式を書き換えます。

$g (- 1) = - 1 - 1 \frac{- π}{2}$

ステップ 13.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$g (- 1) = - 1 - 1 (- \frac{π}{2})$

ステップ 13.2.1.4

$- 1 (- \frac{π}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1.4.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$g (- 1) = - 1 + 1 (\frac{π}{2})$

ステップ 13.2.1.4.2

$\frac{π}{2}$ に $1$ をかけます。

$g (- 1) = - 1 + \frac{π}{2}$

ステップ 13.2.2

最終的な答えは $- 1 + \frac{π}{2}$ です。

$y = - 1 + \frac{π}{2}$

ステップ 14

$g (x) = x - 2 \arctan (x)$ の極値です。

$(1, 1 - \frac{π}{2})$ は極小値です

$(- 1, - 1 + \frac{π}{2})$ は極大値です

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例