微分積分例

$s (t) = \frac{25000 e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$25000$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{25000 e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}$ の微分係数は $25000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}]$ です。

$25000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}]$

ステップ 1.2

$f (t) = e^{- t}$ および $g (t) = {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{({(1 + 5 e^{- t})}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.3

${({(1 + 5 e^{- t})}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.4

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- t$ とします。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.4.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- t$ で置き換えます。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} (- 1 \cdot 1) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.5.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} \cdot - 1 - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.5.3.2

$- 1$ を ${(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}$ の左に移動させます。

$25000 \frac{- 1 \cdot ({(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.5.3.3

$- 1 {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ を $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ に書き換えます。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.6

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = 1 + 5 e^{- t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 + 5 e^{- t}$ とします。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + 5 e^{- t}$ で置き換えます。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (2 (1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.7

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.7.2

総和則では、 $1 + 5 e^{- t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]$ です。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.7.3

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.7.4

$0$ と $\frac{d}{d t} [5 e^{- t}]$ をたし算します。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.7.5

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 e^{- t}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ です。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.7.6

式を簡約します。

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ステップ 1.7.6.1

$5$ を $1 + 5 e^{- t}$ の左に移動させます。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} (5 \cdot (1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.7.6.2

$5$ に $- 2$ をかけます。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.8

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $- t$ とします。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.8.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ は $a^{u_{3}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.8.3

$u_{3}$ のすべての発生を $- t$ で置き換えます。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t - t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.10

$- t$ から $t$ を引きます。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.11

$1 + 5 e^{- t}$ を $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.11.1

$1 + 5 e^{- t}$ を $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}$ で因数分解します。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.11.2

$1 + 5 e^{- t}$ を $- 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])$ で因数分解します。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) + (1 + 5 e^{- t}) (- 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.11.3

$1 + 5 e^{- t}$ を $(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) + (1 + 5 e^{- t}) (- 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))$ で因数分解します。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 1.12

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.12.1

$1 + 5 e^{- t}$ を ${(1 + 5 e^{- t})}^{4}$ で因数分解します。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{(1 + 5 e^{- t}) {(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.12.2

共通因数を約分します。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{(1 + 5 e^{- t}) {(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.12.3

式を書き換えます。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.13

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (- \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.14

$- 1$ に $- 10$ をかけます。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [t]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t} \cdot 1}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.16

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.16.1

$10$ に $1$ をかけます。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.16.2

$25000$ と $\frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{25000 (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.1

分配則を当てはめます。

$\frac{25000 ((- 1 \cdot 1 - (5 e^{- t})) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.17.2

分配則を当てはめます。

$\frac{25000 (- 1 \cdot 1 e^{- t} - (5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.17.3

分配則を当てはめます。

$\frac{25000 (- 1 \cdot 1 e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.17.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.4.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{25000 (- 1 e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.17.4.1.2

$- 1 e^{- t}$ を $- e^{- t}$ に書き換えます。

$\frac{25000 (- e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.17.4.1.3

$- 1$ に $25000$ をかけます。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.17.4.1.4

指数を足して $e^{- t}$ に $e^{- t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.4.1.4.1

$e^{- t}$ を移動させます。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 (e^{- t} e^{- t}))) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.17.4.1.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- t - t})) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.17.4.1.4.3

$- t$ から $t$ を引きます。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- 2 t})) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.17.4.1.5

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- 5 e^{- 2 t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.17.4.1.6

$- 5$ に $25000$ をかけます。

$\frac{- 25000 e^{- t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.17.4.1.7

$10$ に $25000$ をかけます。

$\frac{- 25000 e^{- t} - 125000 e^{- 2 t} + 250000 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.17.4.2

$- 125000 e^{- 2 t}$ と $250000 e^{- 2 t}$ をたし算します。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 125000 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 1.17.5

項を並べ替えます。

$\frac{125000 e^{- 2 t} - 25000 e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.17.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.6.1

$25000$ を $125000 e^{- 2 t} - 25000 e^{- t}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.6.1.1

$25000$ を $125000 e^{- 2 t}$ で因数分解します。

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t}) - 25000 e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.17.6.1.2

$25000$ を $- 25000 e^{- t}$ で因数分解します。

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t}) + 25000 (- e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.17.6.1.3

$25000$ を $25000 (5 e^{- 2 t}) + 25000 (- e^{- t})$ で因数分解します。

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t} - e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.17.6.2

$e^{- 2 t}$ を ${(e^{- t})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{25000 (5 {(e^{- t})}^{2} - e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.17.6.3

$u = e^{- t}$ とします。 $u$ を $e^{- t}$ に代入します。

$\frac{25000 (5 u^{2} - u)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.17.6.4

$u$ を $5 u^{2} - u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.17.6.4.1

$u$ を $5 u^{2}$ で因数分解します。

$\frac{25000 (u (5 u) - u)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.17.6.4.2

$u$ を $- u$ で因数分解します。

$\frac{25000 (u (5 u) + u \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.17.6.4.3

$u$ を $u (5 u) + u \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{25000 (u (5 u - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 1.17.6.5

$u$ のすべての発生を $e^{- t}$ で置き換えます。

$\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$25000$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$ の微分係数は $25000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}]$ です。

$s'' (t) = 25000 \frac{d}{d t} (\frac{e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}})$

ステップ 2.2

$f (t) = e^{- t} (5 e^{- t} - 1)$ および $g (t) = {(5 e^{- t} + 1)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ は $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} \frac{d}{d t} (e^{- t} (5 e^{- t} - 1)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{({(5 e^{- t} + 1)}^{3})}^{2}})$

ステップ 2.3

${({(5 e^{- t} + 1)}^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} \frac{d}{d t} (e^{- t} (5 e^{- t} - 1)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3 \cdot 2}})$

ステップ 2.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} \frac{d}{d t} (e^{- t} (5 e^{- t} - 1)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.4

$f (t) = e^{- t}$ および $g (t) = 5 e^{- t} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} - 1) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

総和則では、 $5 e^{- t} - 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [5 e^{- t}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ です。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (\frac{d}{d t} (5 e^{- t}) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.5.2

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 e^{- t}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ です。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 \frac{d}{d t} (e^{- t}) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.6

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- t$ とします。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.6.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.6.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- t$ で置き換えます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 (e^{- t} \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.7

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (5 e^{- t} (- \frac{d}{d t} t) + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.7.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t} \frac{d}{d t} t + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.7.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t} \cdot 1 + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.7.4

$- 5$ に $1$ をかけます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t} + \frac{d}{d t} (- 1)) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.7.5

$- 1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t} + 0) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.7.6

$- 5 e^{- t}$ と $0$ をたし算します。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} (- 5 e^{- t}) + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.8

指数を足して $e^{- t}$ に $e^{- t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

$e^{- t}$ を移動させます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t} e^{- t} \cdot - 5 + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.8.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- t - t} \cdot - 5 + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.8.3

$- t$ から $t$ を引きます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (e^{- 2 t} \cdot - 5 + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.9

$- 5$ を $e^{- 2 t}$ の左に移動させます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 \cdot e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} (e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.10

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- t$ とします。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- t))) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.10.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- t))) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.10.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- t$ で置き換えます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) (e^{- t} \frac{d}{d t} (- t))) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.11

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) e^{- t} (- \frac{d}{d t} t)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.11.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) e^{- t} (- 1 \cdot 1)) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.11.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.11.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} + (5 e^{- t} - 1) e^{- t} \cdot - 1) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.11.3.2

$- 1$ を $(5 e^{- t} - 1) e^{- t}$ の左に移動させます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - 1 \cdot ((5 e^{- t} - 1) e^{- t})) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.11.3.3

$- 1 (5 e^{- t} - 1)$ を $- (5 e^{- t} - 1)$ に書き換えます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) \frac{d}{d t} {(5 e^{- t} + 1)}^{3}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.12

$f (t) = t^{3}$ および $g (t) = 5 e^{- t} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $5 e^{- t} + 1$ とします。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d u (3)} ({u_{3}}^{3}) \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.12.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ は $n {u_{3}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.12.3

$u_{3}$ のすべての発生を $5 e^{- t} + 1$ で置き換えます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (3 {(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.13

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1

$3$ に $- 1$ をかけます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) ({(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.13.2

${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ を ${(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) ({(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [5 e^{- t} + 1])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.2.1

${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ を ${(5 e^{- t} + 1)}^{3} (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t})$ で因数分解します。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t})) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) ({(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.13.2.2

${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ を $- 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) ({(5 e^{- t} + 1)}^{2} \frac{d}{d t} [5 e^{- t} + 1])$ で因数分解します。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t})) + {(5 e^{- t} + 1)}^{2} (- 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1)))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.13.2.3

${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ を ${(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t})) + {(5 e^{- t} + 1)}^{2} (- 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} [5 e^{- t} + 1]))$ で因数分解します。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1)))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{6}})$

ステップ 2.14

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.14.1

${(5 e^{- t} + 1)}^{2}$ を ${(5 e^{- t} + 1)}^{6}$ で因数分解します。

$s'' (t) = 25000 (\frac{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1)))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{2} {(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.14.2

共通因数を約分します。

ステップ 2.14.3

式を書き換えます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t} + 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.15

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.15.1

総和則では、 $5 e^{- t} + 1$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [5 e^{- t}] + \frac{d}{d t} [1]$ です。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (\frac{d}{d t} (5 e^{- t}) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.15.2

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 e^{- t}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ です。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 \frac{d}{d t} (e^{- t}) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.16

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.16.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{4}$ を $- t$ とします。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 (\frac{d}{d u (4)} (e^{u_{4}}) \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.16.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ は $a^{u_{4}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 (e^{u_{4}} \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.16.3

$u_{4}$ のすべての発生を $- t$ で置き換えます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 (e^{- t} \frac{d}{d t} (- t)) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.17

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (5 e^{- t} (- \frac{d}{d t} t) + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.17.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t} \frac{d}{d t} t + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.17.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t} \cdot 1 + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.17.4

$- 5$ に $1$ をかけます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t} + \frac{d}{d t} (1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.17.5

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t} + 0)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.17.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1

$- 5 e^{- t}$ と $0$ をたし算します。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) - 3 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) (- 5 e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.17.6.2

$- 5$ に $- 3$ をかけます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.18

指数を足して $e^{- t}$ に $e^{- t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.18.1

$e^{- t}$ を移動させます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 (e^{- t} e^{- t}) (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.18.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- t - t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.18.3

$- t$ から $t$ を引きます。

$s'' (t) = 25000 (\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}})$

ステップ 2.19

$25000$ と $\frac{(5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$ をまとめます。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t} - 1) e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.20.1

分配則を当てはめます。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} + (- (5 e^{- t}) + 1) e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.2

分配則を当てはめます。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- t} e^{- t} + 1 e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t} - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.3

分配則を当てはめます。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- t} e^{- t} + 1 e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} (5 e^{- t}) + 15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.4

分配則を当てはめます。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- t} e^{- t} + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.20.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.20.5.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.20.5.1.1.1

指数を足して $e^{- t}$ に $e^{- t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.20.5.1.1.1.1

$e^{- t}$ を移動させます。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 (e^{- t} e^{- t})) + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- t - t}) + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.1.1.3

$- t$ から $t$ を引きます。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - (5 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.1.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- 2 t} + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- 2 t} + 1 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.1.4

$e^{- t}$ に $1$ をかけます。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 5 e^{- 2 t} - 5 e^{- 2 t} + e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.2

$- 5 e^{- 2 t}$ から $5 e^{- 2 t}$ を引きます。

$s'' (t) = \frac{25000 ((5 e^{- t} + 1) (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(5 e^{- t} + 1) (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.20.5.1.3.1

分配則を当てはめます。

$s'' (t) = \frac{25000 (5 e^{- t} (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t}) + 1 (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.3.2

分配則を当てはめます。

$s'' (t) = \frac{25000 (5 e^{- t} (- 10 e^{- 2 t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t} + e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.3.3

分配則を当てはめます。

$s'' (t) = \frac{25000 (5 e^{- t} (- 10 e^{- 2 t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.20.5.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.20.5.1.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$s'' (t) = \frac{25000 (5 \cdot (- 10 e^{- t} e^{- 2 t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.4.1.2

指数を足して $e^{- t}$ に $e^{- 2 t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.20.5.1.4.1.2.1

$e^{- 2 t}$ を移動させます。

$s'' (t) = \frac{25000 (5 \cdot (- 10 (e^{- 2 t} e^{- t})) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$s'' (t) = \frac{25000 (5 \cdot (- 10 e^{- 2 t - t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.4.1.2.3

$- 2 t$ から $t$ を引きます。

$s'' (t) = \frac{25000 (5 \cdot (- 10 e^{- 3 t}) + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.4.1.3

$5$ に $- 10$ をかけます。

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- t} e^{- t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.4.1.4

指数を足して $e^{- t}$ に $e^{- t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.20.5.1.4.1.4.1

$e^{- t}$ を移動させます。

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 (e^{- t} e^{- t}) + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.4.1.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- t - t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.4.1.4.3

$- t$ から $t$ を引きます。

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- 2 t} + 1 (- 10 e^{- 2 t}) + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.4.1.5

$- 10 e^{- 2 t}$ に $1$ をかけます。

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- 2 t} - 10 e^{- 2 t} + 1 e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.4.1.6

$e^{- t}$ に $1$ をかけます。

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} + 5 e^{- 2 t} - 10 e^{- 2 t} + e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.4.2

$5 e^{- 2 t}$ から $10 e^{- 2 t}$ を引きます。

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t} - 5 e^{- 2 t} + e^{- t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.5

分配則を当てはめます。

$s'' (t) = \frac{25000 (- 50 e^{- 3 t}) + 25000 (- 5 e^{- 2 t}) + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.20.5.1.6.1

$- 50$ に $25000$ をかけます。

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} + 25000 (- 5 e^{- 2 t}) + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.6.2

$- 5$ に $25000$ をかけます。

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- 2 t} (5 e^{- t})) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.7

指数を足して $e^{- 2 t}$ に $e^{- t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.20.5.1.7.1

$e^{- t}$ を移動させます。

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (15 (e^{- t} e^{- 2 t}) \cdot 5) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- t - 2 t} \cdot 5) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.7.3

$- t$ から $2 t$ を引きます。

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (15 e^{- 3 t} \cdot 5) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.8

$5$ に $15$ をかけます。

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 25000 (75 e^{- 3 t}) + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.9

$75$ に $25000$ をかけます。

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 1875000 e^{- 3 t} + 25000 (15 e^{- 2 t} \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.10

$- 1$ に $15$ をかけます。

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 1875000 e^{- 3 t} + 25000 (- 15 e^{- 2 t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.1.11

$- 15$ に $25000$ をかけます。

$s'' (t) = \frac{- 1250000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} + 1875000 e^{- 3 t} - 375000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.2

$- 1250000 e^{- 3 t}$ と $1875000 e^{- 3 t}$ をたし算します。

$s'' (t) = \frac{625000 e^{- 3 t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 e^{- t} - 375000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.5.3

$- 125000 e^{- 2 t}$ から $375000 e^{- 2 t}$ を引きます。

$s'' (t) = \frac{625000 e^{- 3 t} + 25000 e^{- t} - 500000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.6

$25000$ を $625000 e^{- 3 t} + 25000 e^{- t} - 500000 e^{- 2 t}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.20.6.1

$25000$ を $625000 e^{- 3 t}$ で因数分解します。

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t}) + 25000 e^{- t} - 500000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.6.2

$25000$ を $25000 e^{- t}$ で因数分解します。

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t}) + 25000 (e^{- t}) - 500000 e^{- 2 t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.6.3

$25000$ を $- 500000 e^{- 2 t}$ で因数分解します。

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t}) + 25000 (e^{- t}) + 25000 (- 20 e^{- 2 t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.6.4

$25000$ を $25000 (25 e^{- 3 t}) + 25000 (e^{- t})$ で因数分解します。

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t} + e^{- t}) + 25000 (- 20 e^{- 2 t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.20.6.5

$25000$ を $25000 (25 e^{- 3 t} + e^{- t}) + 25000 (- 20 e^{- 2 t})$ で因数分解します。

$s'' (t) = \frac{25000 (25 e^{- 3 t} + e^{- t} - 20 e^{- 2 t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{4}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$25000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}]$

ステップ 4.1.2

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{({(1 + 5 e^{- t})}^{2})}^{2}}$

ステップ 4.1.3

${({(1 + 5 e^{- t})}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 4.1.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t}] - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.4

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- t$ とします。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.4.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- t$ で置き換えます。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} (- 1 \cdot 1) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.5.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$25000 \frac{{(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} \cdot - 1 - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.5.3.2

$- 1$ を ${(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}$ の左に移動させます。

$25000 \frac{- 1 \cdot ({(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}) - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.5.3.3

$- 1 {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ を $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2}$ に書き換えます。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} \frac{d}{d t} [{(1 + 5 e^{- t})}^{2}]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.6

$f (t) = t^{2}$ および $g (t) = 1 + 5 e^{- t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $1 + 5 e^{- t}$ とします。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.6.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + 5 e^{- t}$ で置き換えます。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - e^{- t} (2 (1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.7

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [1 + 5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.7.2

総和則では、 $1 + 5 e^{- t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]$ です。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.7.3

$1$ は $t$ について定数なので、 $t$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.7.4

$0$ と $\frac{d}{d t} [5 e^{- t}]$ をたし算します。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [5 e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.7.5

$5$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $5 e^{- t}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ です。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (5 \frac{d}{d t} [e^{- t}]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.7.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.6.1

$5$ を $1 + 5 e^{- t}$ の左に移動させます。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 2 e^{- t} (5 \cdot (1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.7.6.2

$5$ に $- 2$ をかけます。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [e^{- t}])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.8

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $- t$ とします。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.8.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ は $a^{u_{3}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.8.3

$u_{3}$ のすべての発生を $- t$ で置き換えます。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t} ((1 + 5 e^{- t}) (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- t - t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.10

$- t$ から $t$ を引きます。

$25000 \frac{- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.11

$1 + 5 e^{- t}$ を $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t} - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.11.1

$1 + 5 e^{- t}$ を $- {(1 + 5 e^{- t})}^{2} e^{- t}$ で因数分解します。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) - 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.11.2

$1 + 5 e^{- t}$ を $- 10 e^{- 2 t} ((1 + 5 e^{- t}) \frac{d}{d t} [- t])$ で因数分解します。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) + (1 + 5 e^{- t}) (- 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.11.3

$1 + 5 e^{- t}$ を $(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t}) + (1 + 5 e^{- t}) (- 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))$ で因数分解します。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{{(1 + 5 e^{- t})}^{4}}$

ステップ 4.1.12

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.12.1

$1 + 5 e^{- t}$ を ${(1 + 5 e^{- t})}^{4}$ で因数分解します。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{(1 + 5 e^{- t}) {(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.12.2

共通因数を約分します。

$25000 \frac{(1 + 5 e^{- t}) (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t]))}{(1 + 5 e^{- t}) {(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.12.3

式を書き換えます。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (\frac{d}{d t} [- t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.13

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} - 10 e^{- 2 t} (- \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.14

$- 1$ に $- 10$ をかけます。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t} \frac{d}{d t} [t]}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t} \cdot 1}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.16

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.16.1

$10$ に $1$ をかけます。

$25000 \frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.16.2

$25000$ と $\frac{- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{25000 (- (1 + 5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.1

分配則を当てはめます。

$\frac{25000 ((- 1 \cdot 1 - (5 e^{- t})) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.17.2

分配則を当てはめます。

$\frac{25000 (- 1 \cdot 1 e^{- t} - (5 e^{- t}) e^{- t} + 10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.17.3

分配則を当てはめます。

$\frac{25000 (- 1 \cdot 1 e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.17.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.4.1.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{25000 (- 1 e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.17.4.1.2

$- 1 e^{- t}$ を $- e^{- t}$ に書き換えます。

$\frac{25000 (- e^{- t}) + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.17.4.1.3

$- 1$ に $25000$ をかけます。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- t}) e^{- t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.17.4.1.4

指数を足して $e^{- t}$ に $e^{- t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.4.1.4.1

$e^{- t}$ を移動させます。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 (e^{- t} e^{- t}))) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.17.4.1.4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- t - t})) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.17.4.1.4.3

$- t$ から $t$ を引きます。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- (5 e^{- 2 t})) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.17.4.1.5

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 25000 (- 5 e^{- 2 t}) + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.17.4.1.6

$- 5$ に $25000$ をかけます。

$\frac{- 25000 e^{- t} - 125000 e^{- 2 t} + 25000 (10 e^{- 2 t})}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.17.4.1.7

$10$ に $25000$ をかけます。

$\frac{- 25000 e^{- t} - 125000 e^{- 2 t} + 250000 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.17.4.2

$- 125000 e^{- 2 t}$ と $250000 e^{- 2 t}$ をたし算します。

$\frac{- 25000 e^{- t} + 125000 e^{- 2 t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{3}}$

ステップ 4.1.17.5

項を並べ替えます。

$\frac{125000 e^{- 2 t} - 25000 e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 4.1.17.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.6.1

$25000$ を $125000 e^{- 2 t} - 25000 e^{- t}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.6.1.1

$25000$ を $125000 e^{- 2 t}$ で因数分解します。

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t}) - 25000 e^{- t}}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 4.1.17.6.1.2

$25000$ を $- 25000 e^{- t}$ で因数分解します。

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t}) + 25000 (- e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 4.1.17.6.1.3

$25000$ を $25000 (5 e^{- 2 t}) + 25000 (- e^{- t})$ で因数分解します。

$\frac{25000 (5 e^{- 2 t} - e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 4.1.17.6.2

$e^{- 2 t}$ を ${(e^{- t})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{25000 (5 {(e^{- t})}^{2} - e^{- t})}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 4.1.17.6.3

$u = e^{- t}$ とします。 $u$ を $e^{- t}$ に代入します。

$\frac{25000 (5 u^{2} - u)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 4.1.17.6.4

$u$ を $5 u^{2} - u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.6.4.1

$u$ を $5 u^{2}$ で因数分解します。

$\frac{25000 (u (5 u) - u)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 4.1.17.6.4.2

$u$ を $- u$ で因数分解します。

$\frac{25000 (u (5 u) + u \cdot - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 4.1.17.6.4.3

$u$ を $u (5 u) + u \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{25000 (u (5 u - 1))}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 4.1.17.6.5

$u$ のすべての発生を $e^{- t}$ で置き換えます。

$f' (t) = \frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 4.2

$t$ に関する $s (t)$ の一次導関数は $\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$ です。

$\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1)}{{(5 e^{- t} + 1)}^{3}} = 0$

ステップ 5.2

分子を0に等しくします。

$25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) = 0$

ステップ 5.3

$t$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{- t} = 0$

$5 e^{- t} - 1 = 0$

ステップ 5.3.2

$e^{- t}$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$e^{- t}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{- t} = 0$

ステップ 5.3.2.2

$t$ について $e^{- t} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- t}) = \ln (0)$

ステップ 5.3.2.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 5.3.2.2.3

$e^{- t} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 5.3.3

$5 e^{- t} - 1$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$5 e^{- t} - 1$ が $0$ に等しいとします。

$5 e^{- t} - 1 = 0$

ステップ 5.3.3.2

$t$ について $5 e^{- t} - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$5 e^{- t} = 1$

ステップ 5.3.3.2.2

$5 e^{- t} = 1$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.1

$5 e^{- t} = 1$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 e^{- t}}{5} = \frac{1}{5}$

ステップ 5.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 e^{- t}}{5} = \frac{1}{5}$

ステップ 5.3.3.2.2.2.1.2

$e^{- t}$ を $1$ で割ります。

$e^{- t} = \frac{1}{5}$

ステップ 5.3.3.2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- t}) = \ln (\frac{1}{5})$

ステップ 5.3.3.2.4

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.4.1

$- t$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- t})$ を展開します。

$- t \ln (e) = \ln (\frac{1}{5})$

ステップ 5.3.3.2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- t \cdot 1 = \ln (\frac{1}{5})$

ステップ 5.3.3.2.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- t = \ln (\frac{1}{5})$

ステップ 5.3.3.2.5

$- t = \ln (\frac{1}{5})$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.5.1

$- t = \ln (\frac{1}{5})$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- t}{- 1} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 1}$

ステップ 5.3.3.2.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.5.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{t}{1} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 1}$

ステップ 5.3.3.2.5.2.2

$t$ を $1$ で割ります。

$t = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 1}$

ステップ 5.3.3.2.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.5.3.1

$\frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$t = - 1 \cdot \ln (\frac{1}{5})$

ステップ 5.3.3.2.5.3.2

$- 1 \cdot \ln (\frac{1}{5})$ を $- \ln (\frac{1}{5})$ に書き換えます。

$t = - \ln (\frac{1}{5})$

ステップ 5.3.4

最終解は $25000 e^{- t} (5 e^{- t} - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$t = - \ln (\frac{1}{5})$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$t = - \ln (\frac{1}{5})$

ステップ 8

$t = - \ln (\frac{1}{5})$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{25000 (25 e^{- 3 (- \ln (\frac{1}{5}))} + e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))} + 1)}^{4}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$- 3 (- \ln (\frac{1}{5}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{25000 (25 e^{3 \ln (\frac{1}{5})} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.1.2

対数の中の $3$ を移動させて $3 \ln (\frac{1}{5})$ を簡約します。

$\frac{25000 (25 e^{\ln ({(\frac{1}{5})}^{3})} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{25000 (25 {(\frac{1}{5})}^{3} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.3

積の法則を $\frac{1}{5}$ に当てはめます。

$\frac{25000 (25 \frac{1^{3}}{5^{3}} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{25000 (25 \frac{1}{5^{3}} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.5

$5$ を $3$ 乗します。

$\frac{25000 (25 (\frac{1}{125}) + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.6

$25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.6.1

$25$ を $125$ で因数分解します。

$\frac{25000 (25 \frac{1}{25 (5)} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{25000 (25 \frac{1}{25 \cdot 5} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.6.3

式を書き換えます。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + e^{- - \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.7

$- - \ln (\frac{1}{5})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + e^{1 \ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.7.2

$\ln (\frac{1}{5})$ に $1$ をかけます。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + e^{\ln (\frac{1}{5})} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.8

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 e^{- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.9

$- 2 (- \ln (\frac{1}{5}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.9.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 e^{2 \ln (\frac{1}{5})})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.9.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (\frac{1}{5})$ を簡約します。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 e^{\ln ({(\frac{1}{5})}^{2})})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.10

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 {(\frac{1}{5})}^{2})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.11

積の法則を $\frac{1}{5}$ に当てはめます。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 \frac{1^{2}}{5^{2}})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.12

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 \frac{1}{5^{2}})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.13

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 20 (\frac{1}{25}))}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.14

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.14.1

$5$ を $- 20$ で因数分解します。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + 5 (- 4) \frac{1}{25})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.14.2

$5$ を $25$ で因数分解します。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + 5 \cdot - 4 \frac{1}{5 \cdot 5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.14.3

共通因数を約分します。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + 5 \cdot - 4 \frac{1}{5 \cdot 5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.14.4

式を書き換えます。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - 4 (\frac{1}{5}))}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.15

$- 4$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{- 4}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.16

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{25000 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{4}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.17

公分母の分子をまとめます。

$\frac{25000 (\frac{1 + 1}{5} - \frac{4}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.18

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{25000 (\frac{2}{5} - \frac{4}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.19

公分母の分子をまとめます。

$\frac{25000 \frac{2 - 4}{5}}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.20

$2$ から $4$ を引きます。

$\frac{25000 (\frac{- 2}{5})}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.21

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{25000 \cdot - 1 \frac{2}{5}}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.22

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.22.1

負をくくり出します。

$\frac{- (25000 (\frac{2}{5}))}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.22.2

$25000$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$\frac{- \frac{25000 \cdot 2}{5}}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.22.3

$25000$ に $2$ をかけます。

$\frac{- \frac{50000}{5}}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.1.23

$50000$ を $5$ で割ります。

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 e^{- - \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$- - \ln (\frac{1}{5})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 e^{1 \ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.2.1.2

$\ln (\frac{1}{5})$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 e^{\ln (\frac{1}{5})} + 1)}^{4}}$

ステップ 9.2.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 (\frac{1}{5}) + 1)}^{4}}$

ステップ 9.2.3

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(5 (\frac{1}{5}) + 1)}^{4}}$

ステップ 9.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{- 1 \cdot 10000}{{(1 + 1)}^{4}}$

ステップ 9.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 1 \cdot 10000}{2^{4}}$

ステップ 9.2.5

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{- 1 \cdot 10000}{16}$

ステップ 9.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

$- 1$ に $10000$ をかけます。

$\frac{- 10000}{16}$

ステップ 9.3.2

$- 10000$ を $16$ で割ります。

$- 625$

ステップ 10

$t = - \ln (\frac{1}{5})$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$t = - \ln (\frac{1}{5})$ は極大値です

ステップ 11

$t = - \ln (\frac{1}{5})$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $t$ を $- \ln (\frac{1}{5})$ で置換えます。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000 e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))}}{{(1 + 5 e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))})}^{2}}$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))}$ を分母に移動させます。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 e^{- (- \ln (\frac{1}{5}))})}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

ステップ 11.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$- - \ln (\frac{1}{5})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 e^{1 \ln (\frac{1}{5})})}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

ステップ 11.2.2.1.2

$\ln (\frac{1}{5})$ に $1$ をかけます。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 e^{\ln (\frac{1}{5})})}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

ステップ 11.2.2.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 (\frac{1}{5}))}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

ステップ 11.2.2.3

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 5 (\frac{1}{5}))}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

ステップ 11.2.2.3.2

式を書き換えます。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{{(1 + 1)}^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

ステップ 11.2.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{2^{2} e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

ステップ 11.2.2.5

$2$ を $2$ 乗します。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{4 e^{- \ln (\frac{1}{5})}}$

ステップ 11.2.2.6

対数の中の $- 1$ を移動させて $- \ln (\frac{1}{5})$ を簡約します。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{4 e^{\ln ({(\frac{1}{5})}^{- 1})}}$

ステップ 11.2.2.7

指数関数と対数関数は逆関数です。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{4 {(\frac{1}{5})}^{- 1}}$

ステップ 11.2.2.8

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{4 \cdot 5}$

ステップ 11.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1

$4$ に $5$ をかけます。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = \frac{25000}{20}$

ステップ 11.2.3.2

$25000$ を $20$ で割ります。

$s (- \ln (\frac{1}{5})) = 1250$

ステップ 11.2.4

最終的な答えは $1250$ です。

$y = 1250$

ステップ 12

$s (t) = \frac{25000 e^{- t}}{{(1 + 5 e^{- t})}^{2}}$ の極値です。

$(- \ln (\frac{1}{5}), 1250)$ は極大値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例