微分積分例

$r (t) = (3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $(3 \sin (t)) i - 5 \cos (3 t) j + e^{- 7 t} k$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ です。

$\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d t} [(3 \sin (t)) i]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3 i$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 \sin (t) i$ の微分係数は $3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ です。

$3 i \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

ステップ 1.2.2

$t$ に関する $\sin (t)$ の微分係数は $\cos (t)$ です。

$3 i \cos (t) + \frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d t} [- 5 \cos (3 t) j]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 5 j$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 5 \cos (3 t) j$ の微分係数は $- 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)]$ です。

$3 i \cos (t) - 5 j \frac{d}{d t} [\cos (3 t)] + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

ステップ 1.3.2

$f (t) = \cos (t)$ および $g (t) = 3 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 t$ とします。

$3 i \cos (t) - 5 j (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

ステップ 1.3.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

ステップ 1.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 t$ で置き換えます。

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

ステップ 1.3.3

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

ステップ 1.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$3 i \cos (t) - 5 j (- \sin (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

ステップ 1.3.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$3 i \cos (t) - 5 j (- 3 \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

ステップ 1.3.7

$- 3$ に $- 5$ をかけます。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + \frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d t} [e^{- 7 t} k]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$k$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $e^{- 7 t} k$ の微分係数は $k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ です。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$

ステップ 1.4.2

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - 7 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 7 t$ とします。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 7 t])$

ステップ 1.4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

ステップ 1.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 7 t$ で置き換えます。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} [- 7 t])$

ステップ 1.4.3

$- 7$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 7 t$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} [t]))$

ステップ 1.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

ステップ 1.4.5

$- 7$ に $1$ をかけます。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

ステップ 1.4.6

$- 7$ を $e^{- 7 t}$ の左に移動させます。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) + k (- 7 e^{- 7 t})$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

項を並べ替えます。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$

ステップ 1.5.2

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 e^{- 7 t} k$ の因数を並べ替えます。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)] + \frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)] + \frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ です。

$r'' (t) = \frac{d}{d t} (3 i \cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d t} [3 i \cos (t)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$3 i$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 i \cos (t)$ の微分係数は $3 i \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ です。

$r'' (t) = 3 i \frac{d}{d t} (\cos (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

ステップ 2.2.2

$t$ に関する $\cos (t)$ の微分係数は $- \sin (t)$ です。

$r'' (t) = 3 i (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

ステップ 2.2.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + \frac{d}{d t} (15 j \sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d t} [15 j \sin (3 t)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$15 j$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $15 j \sin (3 t)$ の微分係数は $15 j \frac{d}{d t} [\sin (3 t)]$ です。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j \frac{d}{d t} (\sin (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

ステップ 2.3.2

$f (t) = \sin (t)$ および $g (t) = 3 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 t$ とします。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

ステップ 2.3.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

ステップ 2.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 t$ で置き換えます。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \frac{d}{d t} (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

ステップ 2.3.3

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $3 t$ の微分係数は $3 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \frac{d}{d t} (t))) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

ステップ 2.3.5

$3$ に $1$ をかけます。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (\cos (3 t) \cdot 3) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

ステップ 2.3.6

$3$ を $\cos (3 t)$ の左に移動させます。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 15 j (3 \cdot \cos (3 t)) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

ステップ 2.3.7

$3$ に $15$ をかけます。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + \frac{d}{d t} (- 7 k e^{- 7 t})$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d t} [- 7 k e^{- 7 t}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 7 k$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 7 k e^{- 7 t}$ の微分係数は $- 7 k \frac{d}{d t} [e^{- 7 t}]$ です。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k \frac{d}{d t} e^{- 7 t}$

ステップ 2.4.2

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - 7 t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 7 t$ とします。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d t} (- 7 t))$

ステップ 2.4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

ステップ 2.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 7 t$ で置き換えます。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \frac{d}{d t} (- 7 t))$

ステップ 2.4.3

$- 7$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 7 t$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ です。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \frac{d}{d t} t))$

ステップ 2.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} (- 7 \cdot 1))$

ステップ 2.4.5

$- 7$ に $1$ をかけます。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (e^{- 7 t} \cdot - 7)$

ステップ 2.4.6

$- 7$ を $e^{- 7 t}$ の左に移動させます。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) - 7 k (- 7 \cdot e^{- 7 t})$

ステップ 2.4.7

$- 7$ に $- 7$ をかけます。

$r'' (t) = - 3 i \sin (t) + 45 j \cos (3 t) + 49 k e^{- 7 t}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 i \cos (t) + 15 j \sin (3 t) - 7 k e^{- 7 t} = 0$

ステップ 4

$t = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 3 i \sin (0) + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

ステップ 5

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$- 3 i \cdot 0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

ステップ 5.1.2

$0$ に $- 3$ をかけます。

$0 i + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

ステップ 5.1.3

$0$ に $i$ をかけます。

$0 + 45 j \cos (3 (0)) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

ステップ 5.1.4

$3$ に $0$ をかけます。

$0 + 45 j \cos (0) + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

ステップ 5.1.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$0 + 45 j \cdot 1 + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

ステップ 5.1.6

$45$ に $1$ をかけます。

$0 + 45 j + 49 k e^{- 7 \cdot 0}$

ステップ 5.1.7

$- 7$ に $0$ をかけます。

$0 + 45 j + 49 k e^{0}$

ステップ 5.1.8

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$0 + 45 j + 49 k \cdot 1$

ステップ 5.1.9

$49$ に $1$ をかけます。

$0 + 45 j + 49 k$

ステップ 5.2

$0$ と $45 j$ をたし算します。

$45 j + 49 k$

ステップ 6

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例