微分積分例

$k (x) = x^{\frac{3}{2}} \cdot e^{2 x}$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ および $g (x) = e^{2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 1.3

微分します。

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ステップ 1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 1.3.3.2

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 1.3.4

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

ステップ 1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.6

公分母の分子をまとめます。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 1.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

ステップ 1.7.2

$3$ から $2$ を引きます。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.8

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 1.9

$e^{2 x}$ と $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 1.10

簡約します。

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ステップ 1.10.1

項を並べ替えます。

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 1.10.2

$3$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ です。

$k'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}]$ です。

$k'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{2 x} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.2

$f (x) = e^{2 x}$ および $g (x) = x^{\frac{3}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.3

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.4.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.9

公分母の分子をまとめます。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.10

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.10.2

$3$ から $2$ を引きます。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.11

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$k'' (x) = 2 (e^{2 x} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.12

$e^{2 x}$ と $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.13

$2$ に $1$ をかけます。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \cdot 2)) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.2.14

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{d}{d x} (\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{3}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ の微分係数は $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 2.3.2

$f (x) = e^{2 x}$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x}))$

ステップ 2.3.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (e^{2 x}))$

ステップ 2.3.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (2 x)))$

ステップ 2.3.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (2 x)))$

ステップ 2.3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x)))$

ステップ 2.3.5

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))))$

ステップ 2.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

ステップ 2.3.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

ステップ 2.3.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

ステップ 2.3.9

公分母の分子をまとめます。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

ステップ 2.3.10

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

ステップ 2.3.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

ステップ 2.3.11

分数の前に負数を移動させます。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

ステップ 2.3.12

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (e^{2 x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

ステップ 2.3.13

$e^{2 x}$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

ステップ 2.3.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

ステップ 2.3.15

$2$ に $1$ をかけます。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (e^{2 x} \cdot 2))$

ステップ 2.3.16

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}) + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot (\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

ステップ 2.4.2

分配則を当てはめます。

$k'' (x) = 2 (\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}) + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

ステップ 2.4.3

項をまとめます。

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ステップ 2.4.3.1

$2$ と $\frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$ をまとめます。

$k'' (x) = \frac{2 (e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}}))}{2} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

ステップ 2.4.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$k'' (x) = \frac{6 (e^{2 x} (x^{\frac{1}{2}}))}{2} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

ステップ 2.4.3.3

$2$ を $6 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$k'' (x) = \frac{2 (3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

ステップ 2.4.3.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$k'' (x) = \frac{2 (3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

ステップ 2.4.3.4.2

共通因数を約分します。

$k'' (x) = \frac{2 (3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

ステップ 2.4.3.4.3

式を書き換えます。

$k'' (x) = \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{1} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

ステップ 2.4.3.4.4

$3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

ステップ 2.4.3.5

$2$ に $2$ をかけます。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 (x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x})) + \frac{3}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

ステップ 2.4.3.6

$\frac{3}{2}$ に $\frac{e^{2 x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{2 (2 x^{\frac{1}{2}})} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

ステップ 2.4.3.7

$2$ に $2$ をかけます。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} \cdot (x^{\frac{1}{2}} (2 e^{2 x}))$

ステップ 2.4.3.8

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2} \cdot (2 e^{2 x})$

ステップ 2.4.3.9

$2$ と $\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2}$ をまとめます。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (x^{\frac{1}{2}} \cdot 3)}{2} \cdot e^{2 x}$

ステップ 2.4.3.10

$3$ に $2$ をかけます。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot e^{2 x}$

ステップ 2.4.3.11

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ と $e^{2 x}$ をまとめます。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2}$

ステップ 2.4.3.12

$2$ を $6 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ で因数分解します。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x})}{2}$

ステップ 2.4.3.13

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.13.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x})}{2 (1)}$

ステップ 2.4.3.13.2

共通因数を約分します。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.3.13.3

式を書き換えます。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{1}$

ステップ 2.4.3.13.4

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ を $1$ で割ります。

$k'' (x) = 3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$

ステップ 2.4.3.14

$3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ と $3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.3.14.1

$e^{2 x}$ を移動させます。

$k'' (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x} + 3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.4.3.14.2

$3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ と $3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}$ をたし算します。

$k'' (x) = 6 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x} + 4 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.4.4

項を並べ替えます。

$k'' (x) = 6 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x}}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.1.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.1.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$x^{\frac{3}{2}} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.1.3.3.2

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

ステップ 4.1.3.4

$n = \frac{3}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

ステップ 4.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 4.1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.1.6

公分母の分子をまとめます。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 4.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

ステップ 4.1.7.2

$3$ から $2$ を引きます。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

ステップ 4.1.8

$\frac{3}{2}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をまとめます。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + e^{2 x} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 4.1.9

$e^{2 x}$ と $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$x^{\frac{3}{2}} (2 e^{2 x}) + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 4.1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.10.1

項を並べ替えます。

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{e^{2 x} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

ステップ 4.1.10.2

$3$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$f' (x) = 2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 4.2

$x$ に関する $k (x)$ の一次導関数は $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ です。

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

ステップ 5.2

各項にある共通因数 $e^{2 x} x$ を求めます。

$2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}} + \frac{3}{2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 1}{4 x}}}$

ステップ 5.3

$u$ を $e^{2 x} x$ に代入します。

$2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}} + \frac{3}{2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 1}{4 x}}} = 0$

ステップ 5.4

$u$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

両辺から $\frac{3}{2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 1}{4 x}}}$ を引いて $\frac{3}{2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 1}{4 x}}}$ を方程式の右辺に移動させます。

$2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}} = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

ステップ 5.4.2

$2 {(e x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.1

積の法則を $e x^{2 x}$ に当てはめます。

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} {(x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

ステップ 5.4.2.2

${(x^{2 x})}^{\frac{4 x + 3}{4 x}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{2 x \frac{4 x + 3}{4 x}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

ステップ 5.4.2.2.2

$2 x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.2.2.2.1

$2 x$ を $4 x$ で因数分解します。

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{2 x \frac{4 x + 3}{2 x (2)}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

ステップ 5.4.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{2 x \frac{4 x + 3}{2 x \cdot 2}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

ステップ 5.4.2.2.2.3

式を書き換えます。

$2 (e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}) = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

$2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} = - \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$

ステップ 5.4.3

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.1

方程式の両辺に $\frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$ を足します。

$2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} + \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.2

$2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$ を掛けます。

$2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} \cdot \frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} + \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.3

$2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}$ と $\frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}})}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} + \frac{3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.5.1

指数を足して $e^{\frac{4 x + 3}{4 x}}$ に $e^{\frac{4 x + 1}{4 x}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.5.1.1

$e^{\frac{4 x + 1}{4 x}}$ を移動させます。

$\frac{2 (e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} e^{\frac{4 x + 3}{4 x}}) x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x} + \frac{4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 e^{\frac{4 x + 1 + 4 x + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.1.4

$4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{2 e^{\frac{8 x + 1 + 3}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.1.5

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2 e^{\frac{8 x + 4}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.1.6

$8 x + 4$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.5.1.6.1

$4$ を $8 x$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x) + 4}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.1.6.2

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x) + 4 \cdot 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.1.6.3

$4$ を $4 (2 x) + 4 (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x + 1)}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.1.6.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.5.1.6.4.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x + 1)}{4 (x)}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.1.6.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 e^{\frac{4 (2 x + 1)}{4 x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.1.6.4.3

式を書き換えます。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 3}{2}} (2 x^{\frac{4 x + 1}{2}}) + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.2

指数を足して $x^{\frac{4 x + 3}{2}}$ に $x^{\frac{4 x + 1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.5.2.1

$x^{\frac{4 x + 1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} (x^{\frac{4 x + 1}{2}} x^{\frac{4 x + 3}{2}}) \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 1}{2} + \frac{4 x + 3}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 1 + 4 x + 3}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.2.4

$4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{8 x + 1 + 3}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.2.5

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{8 x + 4}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.2.6

$8 x + 4$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.5.2.6.1

$2$ を $8 x$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x) + 4}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.2.6.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x) + 2 \cdot 2}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.2.6.3

$2$ を $2 (4 x) + 2 (2)$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x + 2)}{2}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.2.6.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.3.5.2.6.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x + 2)}{2 (1)}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.2.6.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{2 (4 x + 2)}{2 \cdot 1}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.2.6.4.3

式を書き換えます。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{\frac{4 x + 2}{1}} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.2.6.4.4

$4 x + 2$ を $1$ で割ります。

$\frac{2 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{4 x + 2} \cdot 2 + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.4.3.5.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{4 x + 2} + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.5

$x$ を $u$ に代入します。

$\frac{4 e^{\frac{2 x + 1}{x}} x^{4 x + 2} + 3}{2 e^{\frac{4 x + 1}{4 x}} x^{\frac{4 x + 1}{2}}} = 0$

ステップ 5.6

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ を $2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1

式を並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1.1.1

$e^{2 x}$ を移動させます。

$2 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

ステップ 5.6.1.1.2

$e^{2 x}$ を移動させます。

$2 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2} = 0$

ステップ 5.6.1.2

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ を $2 x^{\frac{3}{2}} e^{2 x}$ で因数分解します。

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}}) + \frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2} = 0$

ステップ 5.6.1.3

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ を $\frac{3 x^{\frac{1}{2}} e^{2 x}}{2}$ で因数分解します。

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}}) + e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2}) = 0$

ステップ 5.6.1.4

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}$ を $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}}) + e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{2}$ で因数分解します。

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{2}{2}} + \frac{3}{2}) = 0$

ステップ 5.6.2

$2$ を $2$ で割ります。

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$

ステップ 5.6.3

簡約します。

$e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$

ステップ 5.7

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{2 x} = 0$

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

$2 x + \frac{3}{2} = 0$

ステップ 5.8

$e^{2 x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.1

$e^{2 x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{2 x} = 0$

ステップ 5.8.2

$x$ について $e^{2 x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.8.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{2 x}) = \ln (0)$

ステップ 5.8.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 5.8.2.3

$e^{2 x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 5.9

$x^{\frac{1}{2}}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.1

$x^{\frac{1}{2}}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

ステップ 5.9.2

$x$ について $x^{\frac{1}{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.2.1

方程式の両辺を $2$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 5.9.2.2

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.2.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.2.2.1.1.1

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.2.2.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 5.9.2.2.1.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.2.2.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 5.9.2.2.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 0^{2}$

ステップ 5.9.2.2.1.1.2

簡約します。

$x = 0^{2}$

ステップ 5.9.2.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.2.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x = 0$

ステップ 5.10

$2 x + \frac{3}{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.1

$2 x + \frac{3}{2}$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + \frac{3}{2} = 0$

ステップ 5.10.2

$x$ について $2 x + \frac{3}{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.2.1

方程式の両辺から $\frac{3}{2}$ を引きます。

$2 x = - \frac{3}{2}$

ステップ 5.10.2.2

$2 x = - \frac{3}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.2.2.1

$2 x = - \frac{3}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

ステップ 5.10.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

ステップ 5.10.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

ステップ 5.10.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.2.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.10.2.2.3.2

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.10.2.2.3.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{3}{2}$ をかけます。

$x = - \frac{3}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.10.2.2.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = - \frac{3}{4}$

ステップ 5.11

最終解は $e^{2 x} x^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{3}{2}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - \frac{3}{4}$

ステップ 5.12

$2 e^{2 x} x^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = 0$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$2 e^{2 x} \sqrt{x^{3}} + \frac{3 e^{2 x} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 6.1.2

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$2 e^{2 x} \sqrt{x^{3}} + \frac{3 e^{2 x} \sqrt{x^{1}}}{2}$

ステップ 6.1.3

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$2 e^{2 x} \sqrt{x^{3}} + \frac{3 e^{2 x} \sqrt{x}}{2}$

ステップ 6.2

$\sqrt{x^{3}}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} < 0$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

ステップ 6.3.2

方程式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$x < \sqrt[3]{0}$

ステップ 6.3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x < 0$

ステップ 6.4

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 9.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

共通因数を約分します。

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 9.2.2

式を書き換えます。

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0^{1}}$

ステップ 9.3

指数を求めます。

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{4 \cdot 0}$

ステップ 9.4

$4$ に $0$ をかけます。

$6 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{1}{2}} + 4 e^{2 (0)} {(0)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 e^{2 (0)}}{0}$

ステップ 9.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 10

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例