微分積分例

$h (y) = \arctan (y^{2})$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (y) = \arctan (y)$ および $g (y) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.1.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.1.3

$u$ のすべての発生を $y^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{1 + {(y^{2})}^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 1.2.1

${(y^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{1 + y^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{1 + y^{4}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{1 + y^{4}} (2 y)$

ステップ 1.2.3

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.3.1

$2$ と $\frac{1}{1 + y^{4}}$ をまとめます。

$\frac{2}{1 + y^{4}} y$

ステップ 1.2.3.2

$\frac{2}{1 + y^{4}}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{2 y}{1 + y^{4}}$

ステップ 1.2.3.3

項を並べ替えます。

$\frac{2 y}{y^{4} + 1}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $\frac{2 y}{y^{4} + 1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d y} [\frac{y}{y^{4} + 1}]$ です。

$h'' (y) = 2 \frac{d}{d y} (\frac{y}{y^{4} + 1})$

ステップ 2.2

$f (y) = y$ および $g (y) = y^{4} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \frac{d}{d y} (y) - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$h'' (y) = 2 (\frac{(y^{4} + 1) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3.2

$y^{4} + 1$ に $1$ をかけます。

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y \frac{d}{d y} (y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3.3

総和則では、 $y^{4} + 1$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [1]$ です。

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (\frac{d}{d y} (y^{4}) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3.5

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3} + 0)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3.6

式を簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$4 y^{3}$ と $0$ をたし算します。

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - y (4 y^{3})}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.3.6.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y \cdot y^{3}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.4

指数を足して $y$ に $y^{3}$ を掛けます。

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ステップ 2.4.1

$y^{3}$ を移動させます。

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.2

$y^{3}$ に $y$ をかけます。

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ステップ 2.4.2.1

$y$ を $1$ 乗します。

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 (y^{3} y)}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{3 + 1}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.4.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$h'' (y) = 2 (\frac{y^{4} + 1 - 4 y^{4}}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.5

$y^{4}$ から $4 y^{4}$ を引きます。

$h'' (y) = 2 (\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.6

$2$ と $\frac{- 3 y^{4} + 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.7

簡約します。

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ステップ 2.7.1

分配則を当てはめます。

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.7.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.7.2.1

$- 3$ に $2$ をかけます。

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2 \cdot 1}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.7.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$h'' (y) = \frac{- 6 y^{4} + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.7.3

$2$ を $- 6 y^{4} + 2$ で因数分解します。

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ステップ 2.7.3.1

$2$ を $- 6 y^{4}$ で因数分解します。

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.7.3.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.7.3.3

$2$ を $2 (- 3 y^{4}) + 2 (1)$ で因数分解します。

$h'' (y) = \frac{2 (- 3 y^{4} + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.7.4

$- 1$ を $- 3 y^{4}$ で因数分解します。

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) + 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.7.5

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4}) - 1 \cdot - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.7.6

$- 1$ を $- (3 y^{4}) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$h'' (y) = \frac{2 (- (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.7.7

$- (3 y^{4} - 1)$ を $- 1 (3 y^{4} - 1)$ に書き換えます。

$h'' (y) = \frac{2 (- 1 (3 y^{4} - 1))}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.7.8

分数の前に負数を移動させます。

$h'' (y) = - \frac{2 (3 y^{4} - 1)}{{(y^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{2 y}{y^{4} + 1} = 0$

ステップ 4

分子を0に等しくします。

$2 y = 0$

ステップ 5

$2 y = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$2 y = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 y}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{0}{2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$y = 0$

ステップ 6

$y = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 7

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$- \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.1.3

$0$ から $1$ を引きます。

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

ステップ 7.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{2 \cdot - 1}{1}$

ステップ 7.3

式を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{- 2}{1}$

ステップ 7.3.2

$- 2$ を $1$ で割ります。

$- - 2$

ステップ 7.3.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$2$

ステップ 8

$y = 0$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$y = 0$ は極小値です

ステップ 9

$y = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 9.1

式の変数 $y$ を $0$ で置換えます。

$h (0) = \arctan ({(0)}^{2})$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$h (0) = \arctan (0)$

ステップ 9.2.2

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$h (0) = 0$

ステップ 9.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 10

$h (y) = \arctan (y^{2})$ の極値です。

$(0, 0)$ は極小値です

ステップ 11

微分積分 例

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