微分積分例

$P (x) = (0.17 x^{2} - 0.00016 x^{3}) - (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $(0.17 x^{2} - 0.00016 x^{3}) - (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [0.17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.00016 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})]$ です。

$\frac{d}{d x} [0.17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.00016 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [0.17 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$0.17$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.17 x^{2}$ の微分係数は $0.17 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0.17 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.00016 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.17 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 0.00016 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $0.17$ をかけます。

$0.34 x + \frac{d}{d x} [- 0.00016 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 0.00016 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$- 0.00016$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 0.00016 x^{3}$ の微分係数は $- 0.00016 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$0.34 x - 0.00016 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})]$

ステップ 1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.34 x - 0.00016 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})]$

ステップ 1.3.3

$3$ に $- 0.00016$ をかけます。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} + \frac{d}{d x} [- (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3}]$ です。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - \frac{d}{d x} [0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3}]$

ステップ 1.4.2

総和則では、 $0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [0.374 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.0002 x^{3}]$ です。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - (\frac{d}{d x} [0.374 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.0002 x^{3}])$

ステップ 1.4.3

$0.374$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.374 x^{2}$ の微分係数は $0.374 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - (0.374 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.0002 x^{3}])$

ステップ 1.4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - (0.374 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 0.0002 x^{3}])$

ステップ 1.4.5

$- 0.0002$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 0.0002 x^{3}$ の微分係数は $- 0.0002 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - (0.374 (2 x) - 0.0002 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 1.4.6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - (0.374 (2 x) - 0.0002 (3 x^{2}))$

ステップ 1.4.7

$2$ に $0.374$ をかけます。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - (0.748 x - 0.0002 (3 x^{2}))$

ステップ 1.4.8

$3$ に $- 0.0002$ をかけます。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - (0.748 x - 0.0006 x^{2})$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

分配則を当てはめます。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - (0.748 x) - (- 0.0006 x^{2})$

ステップ 1.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$0.748$ に $- 1$ をかけます。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - 0.748 x - (- 0.0006 x^{2})$

ステップ 1.5.2.2

$- 0.0006$ に $- 1$ をかけます。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - 0.748 x + 0.0006 x^{2}$

ステップ 1.5.2.3

$0.34 x$ から $0.748 x$ を引きます。

$- 0.00048 x^{2} - 0.408 x + 0.0006 x^{2}$

ステップ 1.5.2.4

$- 0.00048 x^{2}$ と $0.0006 x^{2}$ をたし算します。

$0.00012 x^{2} - 0.408 x$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $0.00012 x^{2} - 0.408 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [0.00012 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.408 x]$ です。

$P'' (x) = \frac{d}{d x} (0.00012 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 0.408 x)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [0.00012 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$0.00012$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.00012 x^{2}$ の微分係数は $0.00012 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$P'' (x) = 0.00012 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 0.408 x)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$P'' (x) = 0.00012 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 0.408 x)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $0.00012$ をかけます。

$P'' (x) = 0.00024 x + \frac{d}{d x} (- 0.408 x)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 0.408 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 0.408$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 0.408 x$ の微分係数は $- 0.408 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$P'' (x) = 0.00024 x - 0.408 \frac{d}{d x} x$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$P'' (x) = 0.00024 x - 0.408 \cdot 1$

ステップ 2.3.3

$- 0.408$ に $1$ をかけます。

$P'' (x) = 0.00024 x - 0.408$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$0.00012 x^{2} - 0.408 x = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{d}{d x} [0.17 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.00016 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [0.17 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$0.17$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.17 x^{2}$ の微分係数は $0.17 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0.17 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.00016 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.17 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 0.00016 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})]$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $0.17$ をかけます。

$0.34 x + \frac{d}{d x} [- 0.00016 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [- 0.00016 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$- 0.00016$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 0.00016 x^{3}$ の微分係数は $- 0.00016 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$0.34 x - 0.00016 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.34 x - 0.00016 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})]$

ステップ 4.1.3.3

$3$ に $- 0.00016$ をかけます。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} + \frac{d}{d x} [- (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3}]$ です。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - \frac{d}{d x} [0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3}]$

ステップ 4.1.4.2

総和則では、 $0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [0.374 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.0002 x^{3}]$ です。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - (\frac{d}{d x} [0.374 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.0002 x^{3}])$

ステップ 4.1.4.3

$0.374$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.374 x^{2}$ の微分係数は $0.374 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - (0.374 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.0002 x^{3}])$

ステップ 4.1.4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - (0.374 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 0.0002 x^{3}])$

ステップ 4.1.4.5

$- 0.0002$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 0.0002 x^{3}$ の微分係数は $- 0.0002 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - (0.374 (2 x) - 0.0002 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 4.1.4.6

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - (0.374 (2 x) - 0.0002 (3 x^{2}))$

ステップ 4.1.4.7

$2$ に $0.374$ をかけます。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - (0.748 x - 0.0002 (3 x^{2}))$

ステップ 4.1.4.8

$3$ に $- 0.0002$ をかけます。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - (0.748 x - 0.0006 x^{2})$

ステップ 4.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

分配則を当てはめます。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - (0.748 x) - (- 0.0006 x^{2})$

ステップ 4.1.5.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.2.1

$0.748$ に $- 1$ をかけます。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - 0.748 x - (- 0.0006 x^{2})$

ステップ 4.1.5.2.2

$- 0.0006$ に $- 1$ をかけます。

$0.34 x - 0.00048 x^{2} - 0.748 x + 0.0006 x^{2}$

ステップ 4.1.5.2.3

$0.34 x$ から $0.748 x$ を引きます。

$- 0.00048 x^{2} - 0.408 x + 0.0006 x^{2}$

ステップ 4.1.5.2.4

$- 0.00048 x^{2}$ と $0.0006 x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = 0.00012 x^{2} - 0.408 x$

ステップ 4.2

$x$ に関する $P (x)$ の一次導関数は $0.00012 x^{2} - 0.408 x$ です。

$0.00012 x^{2} - 0.408 x$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $0.00012 x^{2} - 0.408 x = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$0.00012 x^{2} - 0.408 x = 0$

ステップ 5.2

$0.00012 x$ を $0.00012 x^{2} - 0.408 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$0.00012 x$ を $0.00012 x^{2}$ で因数分解します。

$0.00012 x (x) - 0.408 x = 0$

ステップ 5.2.2

$0.00012 x$ を $- 0.408 x$ で因数分解します。

$0.00012 x (x) + 0.00012 x (- 3400) = 0$

ステップ 5.2.3

$0.00012 x$ を $0.00012 x (x) + 0.00012 x (- 3400)$ で因数分解します。

$0.00012 x (x - 3400) = 0$

ステップ 5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 3400 = 0$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 5.5

$x - 3400$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

$x - 3400$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3400 = 0$

ステップ 5.5.2

方程式の両辺に $3400$ を足します。

$x = 3400$

ステップ 5.6

最終解は $0.00012 x (x - 3400) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3400$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 0, 3400$

ステップ 8

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$0.00024 (0) - 0.408$

ステップ 9

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$0.00024$ に $0$ をかけます。

$0 - 0.408$

ステップ 9.2

$0$ から $0.408$ を引きます。

$- 0.408$

ステップ 10

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 11

$x = 0$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$P (0) = (0.17 {(0)}^{2} - 0.00016 {(0)}^{3}) - (0.374 {(0)}^{2} - 0.0002 {(0)}^{3})$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$P (0) = 0.17 \cdot 0 - 0.00016 {(0)}^{3} - (0.374 {(0)}^{2} - 0.0002 {(0)}^{3})$

ステップ 11.2.1.2

$0.17$ に $0$ をかけます。

$P (0) = 0 - 0.00016 {(0)}^{3} - (0.374 {(0)}^{2} - 0.0002 {(0)}^{3})$

ステップ 11.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$P (0) = 0 - 0.00016 \cdot 0 - (0.374 {(0)}^{2} - 0.0002 {(0)}^{3})$

ステップ 11.2.1.4

$- 0.00016$ に $0$ をかけます。

$P (0) = 0 + 0 - (0.374 {(0)}^{2} - 0.0002 {(0)}^{3})$

ステップ 11.2.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.5.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$P (0) = 0 + 0 - (0.374 \cdot 0 - 0.0002 {(0)}^{3})$

ステップ 11.2.1.5.2

$0.374$ に $0$ をかけます。

$P (0) = 0 + 0 - (0 - 0.0002 {(0)}^{3})$

ステップ 11.2.1.5.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$P (0) = 0 + 0 - (0 - 0.0002 \cdot 0)$

ステップ 11.2.1.5.4

$- 0.0002$ に $0$ をかけます。

$P (0) = 0 + 0 - (0 + 0)$

ステップ 11.2.1.6

$0$ と $0$ をたし算します。

$P (0) = 0 + 0 - 0$

ステップ 11.2.1.7

$- 1$ に $0$ をかけます。

$P (0) = 0 + 0 + 0$

ステップ 11.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$P (0) = 0 + 0$

ステップ 11.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$P (0) = 0$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 12

$x = 3400$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$0.00024 (3400) - 0.408$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$0.00024$ に $3400$ をかけます。

$0.816 - 0.408$

ステップ 13.2

$0.816$ から $0.408$ を引きます。

$0.408$

ステップ 14

$x = 3400$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 3400$ は極小値です

ステップ 15

$x = 3400$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $3400$ で置換えます。

$P (3400) = (0.17 {(3400)}^{2} - 0.00016 {(3400)}^{3}) - (0.374 {(3400)}^{2} - 0.0002 {(3400)}^{3})$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$3400$ を $2$ 乗します。

$P (3400) = 0.17 \cdot 11560000 - 0.00016 {(3400)}^{3} - (0.374 {(3400)}^{2} - 0.0002 {(3400)}^{3})$

ステップ 15.2.1.2

$0.17$ に $11560000$ をかけます。

$P (3400) = 1965200 - 0.00016 {(3400)}^{3} - (0.374 {(3400)}^{2} - 0.0002 {(3400)}^{3})$

ステップ 15.2.1.3

$3400$ を $3$ 乗します。

$P (3400) = 1965200 - 0.00016 \cdot 39304000000 - (0.374 {(3400)}^{2} - 0.0002 {(3400)}^{3})$

ステップ 15.2.1.4

$- 0.00016$ に $39304000000$ をかけます。

$P (3400) = 1965200 - 6288640 - (0.374 {(3400)}^{2} - 0.0002 {(3400)}^{3})$

ステップ 15.2.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.5.1

$3400$ を $2$ 乗します。

$P (3400) = 1965200 - 6288640 - (0.374 \cdot 11560000 - 0.0002 {(3400)}^{3})$

ステップ 15.2.1.5.2

$0.374$ に $11560000$ をかけます。

$P (3400) = 1965200 - 6288640 - (4323440 - 0.0002 {(3400)}^{3})$

ステップ 15.2.1.5.3

$3400$ を $3$ 乗します。

$P (3400) = 1965200 - 6288640 - (4323440 - 0.0002 \cdot 39304000000)$

ステップ 15.2.1.5.4

$- 0.0002$ に $39304000000$ をかけます。

$P (3400) = 1965200 - 6288640 - (4323440 - 7860800)$

ステップ 15.2.1.6

$4323440$ から $7860800$ を引きます。

$P (3400) = 1965200 - 6288640 + 3537360$

ステップ 15.2.1.7

$- 1$ に $- 3537360$ をかけます。

$P (3400) = 1965200 - 6288640 + 3537360$

ステップ 15.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 15.2.2.1

$1965200$ から $6288640$ を引きます。

$P (3400) = - 4323440 + 3537360$

ステップ 15.2.2.2

$- 4323440$ と $3537360$ をたし算します。

$P (3400) = - 786080$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $- 786080$ です。

$y = - 786080$

ステップ 16

$P (x) = (0.17 x^{2} - 0.00016 x^{3}) - (0.374 x^{2} - 0.0002 x^{3})$ の極値です。

$(0, 0)$ は極大値です

$(3400, - 786080)$ は極小値です

ステップ 17

微分積分 例

微分積分例