微分積分例

$P (x) = (- \frac{1}{2} x^{2} + 700 x) - (5500 + 400 x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $(- \frac{1}{2} x^{2} + 700 x) - (5500 + 400 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{2} x^{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 1.2.4

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 1.2.5

$\frac{- 2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 1.2.6

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 1.2.6.2.4

$- x$ を $1$ で割ります。

$- x + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [700 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$700$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $700 x$ の微分係数は $700 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- x + 700 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x + 700 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 1.3.3

$700$ に $1$ をかけます。

$- x + 700 + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (5500 + 400 x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [5500 + 400 x]$ です。

$- x + 700 - \frac{d}{d x} [5500 + 400 x]$

ステップ 1.4.2

総和則では、 $5500 + 400 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5500] + \frac{d}{d x} [400 x]$ です。

$- x + 700 - (\frac{d}{d x} [5500] + \frac{d}{d x} [400 x])$

ステップ 1.4.3

$5500$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5500$ の微分係数は $0$ です。

$- x + 700 - (0 + \frac{d}{d x} [400 x])$

ステップ 1.4.4

$400$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $400 x$ の微分係数は $400 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- x + 700 - (0 + 400 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x + 700 - (0 + 400 \cdot 1)$

ステップ 1.4.6

$400$ に $1$ をかけます。

$- x + 700 - (0 + 400)$

ステップ 1.4.7

$0$ と $400$ をたし算します。

$- x + 700 - 1 \cdot 400$

ステップ 1.4.8

$- 1$ に $400$ をかけます。

$- x + 700 - 400$

ステップ 1.5

$700$ から $400$ を引きます。

$- x + 300$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- x + 300$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [300]$ です。

$P'' (x) = \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (300)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$P'' (x) = - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (300)$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$P'' (x) = - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (300)$

ステップ 2.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$P'' (x) = - 1 + \frac{d}{d x} (300)$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$300$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $300$ の微分係数は $0$ です。

$P'' (x) = - 1 + 0$

ステップ 2.3.2

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$P'' (x) = - 1$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- x + 300 = 0$

ステップ 4

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 4.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{2} x^{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 4.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 4.1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 4.1.2.4

$- 2$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 4.1.2.5

$\frac{- 2}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 4.1.2.6

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 4.1.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 4.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 4.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 4.1.2.6.2.4

$- x$ を $1$ で割ります。

$- x + \frac{d}{d x} [700 x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 4.1.3

$\frac{d}{d x} [700 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$700$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $700 x$ の微分係数は $700 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- x + 700 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 4.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x + 700 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 4.1.3.3

$700$ に $1$ をかけます。

$- x + 700 + \frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$

ステップ 4.1.4

$\frac{d}{d x} [- (5500 + 400 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (5500 + 400 x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [5500 + 400 x]$ です。

$- x + 700 - \frac{d}{d x} [5500 + 400 x]$

ステップ 4.1.4.2

総和則では、 $5500 + 400 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5500] + \frac{d}{d x} [400 x]$ です。

$- x + 700 - (\frac{d}{d x} [5500] + \frac{d}{d x} [400 x])$

ステップ 4.1.4.3

$5500$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5500$ の微分係数は $0$ です。

$- x + 700 - (0 + \frac{d}{d x} [400 x])$

ステップ 4.1.4.4

$400$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $400 x$ の微分係数は $400 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- x + 700 - (0 + 400 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.1.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x + 700 - (0 + 400 \cdot 1)$

ステップ 4.1.4.6

$400$ に $1$ をかけます。

$- x + 700 - (0 + 400)$

ステップ 4.1.4.7

$0$ と $400$ をたし算します。

$- x + 700 - 1 \cdot 400$

ステップ 4.1.4.8

$- 1$ に $400$ をかけます。

$- x + 700 - 400$

ステップ 4.1.5

$700$ から $400$ を引きます。

$f' (x) = - x + 300$

ステップ 4.2

$x$ に関する $P (x)$ の一次導関数は $- x + 300$ です。

$- x + 300$

ステップ 5

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- x + 300 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- x + 300 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $300$ を引きます。

$- x = - 300$

ステップ 5.3

$- x = - 300$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- x = - 300$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 300}{- 1}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 300}{- 1}$

ステップ 5.3.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 300}{- 1}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$- 300$ を $- 1$ で割ります。

$x = 300$

ステップ 6

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 7

値を求める臨界点です。

$x = 300$

ステップ 8

$x = 300$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 1$

ステップ 9

$x = 300$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 300$ は極大値です

ステップ 10

$x = 300$ のときy値を求めます。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $300$ で置換えます。

$P (300) = (- \frac{1}{2} \cdot {(300)}^{2} + 700 (300)) - (5500 + 400 (300))$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.1

$300$ を $2$ 乗します。

$P (300) = - \frac{1}{2} \cdot 90000 + 700 (300) - (5500 + 400 (300))$

ステップ 10.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1.2.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$P (300) = \frac{- 1}{2} \cdot 90000 + 700 (300) - (5500 + 400 (300))$

ステップ 10.2.1.2.2

$2$ を $90000$ で因数分解します。

$P (300) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (45000)) + 700 (300) - (5500 + 400 (300))$

ステップ 10.2.1.2.3

共通因数を約分します。

$P (300) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 45000) + 700 (300) - (5500 + 400 (300))$

ステップ 10.2.1.2.4

式を書き換えます。

$P (300) = - 1 \cdot 45000 + 700 (300) - (5500 + 400 (300))$

ステップ 10.2.1.3

$- 1$ に $45000$ をかけます。

$P (300) = - 45000 + 700 (300) - (5500 + 400 (300))$

ステップ 10.2.1.4

$700$ に $300$ をかけます。

$P (300) = - 45000 + 210000 - (5500 + 400 (300))$

ステップ 10.2.1.5

$400$ に $300$ をかけます。

$P (300) = - 45000 + 210000 - (5500 + 120000)$

ステップ 10.2.1.6

$5500$ と $120000$ をたし算します。

$P (300) = - 45000 + 210000 - 1 \cdot 125500$

ステップ 10.2.1.7

$- 1$ に $125500$ をかけます。

$P (300) = - 45000 + 210000 - 125500$

ステップ 10.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$- 45000$ と $210000$ をたし算します。

$P (300) = 165000 - 125500$

ステップ 10.2.2.2

$165000$ から $125500$ を引きます。

$P (300) = 39500$

ステップ 10.2.3

最終的な答えは $39500$ です。

$y = 39500$

ステップ 11

$P (x) = (- \frac{1}{2} x^{2} + 700 x) - (5500 + 400 x)$ の極値です。

$(300, 39500)$ は極大値です

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例