微分積分例

$y = {(\frac{1}{x})}^{2}$

ステップ 1

$y = {(\frac{1}{x})}^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = {(\frac{1}{x})}^{2}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$2 \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

$2$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 2.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{x} (- x^{- 2})$

ステップ 2.2.4

分数をまとめます。

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ステップ 2.2.4.1

$\frac{2}{x}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$- \frac{2 x^{- 2}}{x}$

ステップ 2.2.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- \frac{2}{x \cdot x^{2}}$

ステップ 2.3

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 2.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2}{x^{1} x^{2}}$

ステップ 2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2}{x^{1 + 2}}$

ステップ 2.3.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2}{x^{3}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ です。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 3.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{x^{3}}$ を ${(x^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1}$

ステップ 3.2.2

${(x^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3 \cdot - 1}$

ステップ 3.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{- 3}$

ステップ 3.3

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 2 (- 3 x^{- 4})$

ステップ 3.4

$- 3$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 6 x^{- 4}$

ステップ 3.5

簡約します。

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ステップ 3.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{x^{4}})$

ステップ 3.5.2

$6$ と $\frac{1}{x^{4}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{6}{x^{4}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{2}{x^{3}} = 0$

ステップ 5

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 6

極値がありません

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例