微分積分例

$y = (x - 7) e^{x}$

ステップ 1

$y = (x - 7) e^{x}$ を関数で書きます。

$f (x) = (x - 7) e^{x}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x - 7$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x - 7) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 7]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x - 7) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 7]$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

総和則では、 $x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$(x - 7) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 7) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 2.3.3

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$(x - 7) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

ステップ 2.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x - 7) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

ステップ 2.3.4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$(x - 7) e^{x} + e^{x}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$x e^{x} - 7 e^{x} + e^{x}$

ステップ 2.4.2

$- 7 e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$x e^{x} - 6 e^{x}$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$e^{x} x - 6 e^{x}$

ステップ 2.4.4

$e^{x} x - 6 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$x e^{x} - 6 e^{x}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $x e^{x} - 6 e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

ステップ 3.2.4

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (- 6 e^{x})$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 6 e^{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 e^{x}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} - 6 \frac{d}{d x} e^{x}$

ステップ 3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} - 6 e^{x}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$e^{x}$ から $6 e^{x}$ を引きます。

$f'' (x) = x e^{x} - 5 e^{x}$

ステップ 3.4.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = e^{x} x - 5 e^{x}$

ステップ 3.4.3

$e^{x} x - 5 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x e^{x} - 5 e^{x}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$x e^{x} - 6 e^{x} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$(x - 7) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 7]$

ステップ 5.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$(x - 7) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 7]$

ステップ 5.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

総和則では、 $x - 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ です。

$(x - 7) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 7) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

ステップ 5.1.3.3

$- 7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 7$ の微分係数は $0$ です。

$(x - 7) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

ステップ 5.1.3.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x - 7) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

ステップ 5.1.3.4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$(x - 7) e^{x} + e^{x}$

ステップ 5.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

分配則を当てはめます。

$x e^{x} - 7 e^{x} + e^{x}$

ステップ 5.1.4.2

$- 7 e^{x}$ と $e^{x}$ をたし算します。

$x e^{x} - 6 e^{x}$

ステップ 5.1.4.3

項を並べ替えます。

$e^{x} x - 6 e^{x}$

ステップ 5.1.4.4

$e^{x} x - 6 e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = x e^{x} - 6 e^{x}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x e^{x} - 6 e^{x}$ です。

$x e^{x} - 6 e^{x}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x e^{x} - 6 e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x e^{x} - 6 e^{x} = 0$

ステップ 6.2

$e^{x}$ を $x e^{x} - 6 e^{x}$ で因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$e^{x}$ を $x e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x - 6 e^{x} = 0$

ステップ 6.2.2

$e^{x}$ を $- 6 e^{x}$ で因数分解します。

$e^{x} x + e^{x} \cdot - 6 = 0$

ステップ 6.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} x + e^{x} \cdot - 6$ で因数分解します。

$e^{x} (x - 6) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$x - 6 = 0$

ステップ 6.4

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.4.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 6.4.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 6.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 6.4.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 6.5

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 6.5.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 6.6

最終解は $e^{x} (x - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 6$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 6$

ステップ 9

$x = 6$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$(6) e^{6} - 5 e^{6}$

ステップ 10

$6 e^{6}$ から $5 e^{6}$ を引きます。

$e^{6}$

ステップ 11

$x = 6$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 6$ は極小値です

ステップ 12

$x = 6$ のときy値を求めます。

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ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f (6) = ((6) - 7) \cdot e^{6}$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

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ステップ 12.2.1

$6$ から $7$ を引きます。

$f (6) = - 1 \cdot e^{6}$

ステップ 12.2.2

$- 1 e^{6}$ を $- e^{6}$ に書き換えます。

$f (6) = - e^{6}$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $- e^{6}$ です。

$y = - e^{6}$

ステップ 13

$f (x) = (x - 7) e^{x}$ の極値です。

$(6, - e^{6})$ は極小値です

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例