微分積分例

$y = - {(x - 3)}^{2} (x - 5)$

ステップ 1

$y = - {(x - 3)}^{2} (x - 5)$ を関数で書きます。

$f (x) = - {(x - 3)}^{2} (x - 5)$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(x - 3)}^{2}$ を $(x - 3) (x - 3)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [- ((x - 3) (x - 3)) (x - 5)]$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 3) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [- (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (x - 5)]$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [- (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (x - 5)]$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [- (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (x - 5)]$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (x - 5)]$

ステップ 2.3.1.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (x - 5)]$

ステップ 2.3.1.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (x - 5)]$

ステップ 2.3.2

$- 3 x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 6 x + 9) (x - 5)]$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (x^{2} - 6 x + 9) (x - 5)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [(x^{2} - 6 x + 9) (x - 5)]$ です。

$- \frac{d}{d x} [(x^{2} - 6 x + 9) (x - 5)]$

ステップ 2.5

$f (x) = x^{2} - 6 x + 9$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- ((x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

ステップ 2.6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$- ((x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

ステップ 2.6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- ((x^{2} - 6 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

ステップ 2.6.3

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$- ((x^{2} - 6 x + 9) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

ステップ 2.6.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- ((x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

ステップ 2.6.4.2

$x^{2} - 6 x + 9$ に $1$ をかけます。

$- (x^{2} - 6 x + 9 + (x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9])$

ステップ 2.6.5

総和則では、 $x^{2} - 6 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$- (x^{2} - 6 x + 9 + (x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]))$

ステップ 2.6.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x^{2} - 6 x + 9 + (x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]))$

ステップ 2.6.7

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- (x^{2} - 6 x + 9 + (x - 5) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]))$

ステップ 2.6.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (x^{2} - 6 x + 9 + (x - 5) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]))$

ステップ 2.6.9

$- 6$ に $1$ をかけます。

$- (x^{2} - 6 x + 9 + (x - 5) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]))$

ステップ 2.6.10

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$- (x^{2} - 6 x + 9 + (x - 5) (2 x - 6 + 0))$

ステップ 2.6.11

$2 x - 6$ と $0$ をたし算します。

$- (x^{2} - 6 x + 9 + (x - 5) (2 x - 6))$

ステップ 2.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分配則を当てはめます。

$- x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9 - ((x - 5) (2 x - 6))$

ステップ 2.7.2

分配則を当てはめます。

$- x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9 - ((x - 5) (2 x) + (x - 5) \cdot - 6)$

ステップ 2.7.3

分配則を当てはめます。

$- x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9 - (x (2 x) - 5 (2 x) + (x - 5) \cdot - 6)$

ステップ 2.7.4

分配則を当てはめます。

$- x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9 - (x (2 x) - 5 (2 x) + x \cdot - 6 - 5 \cdot - 6)$

ステップ 2.7.5

分配則を当てはめます。

$- x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9 - (x (2 x)) - (- 5 (2 x)) - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 2.7.6

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.6.1

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$- x^{2} + 6 x - 1 \cdot 9 - (x (2 x)) - (- 5 (2 x)) - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 2.7.6.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$- x^{2} + 6 x - 9 - (x (2 x)) - (- 5 (2 x)) - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 2.7.6.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- x^{2} + 6 x - 9 - (2 (x^{1} x)) - (- 5 (2 x)) - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 2.7.6.4

$x$ を $1$ 乗します。

$- x^{2} + 6 x - 9 - (2 (x^{1} x^{1})) - (- 5 (2 x)) - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 2.7.6.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- x^{2} + 6 x - 9 - (2 x^{1 + 1}) - (- 5 (2 x)) - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 2.7.6.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- x^{2} + 6 x - 9 - (2 x^{2}) - (- 5 (2 x)) - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 2.7.6.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- x^{2} + 6 x - 9 - 2 x^{2} - (- 5 (2 x)) - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 2.7.6.8

$2$ に $- 5$ をかけます。

$- x^{2} + 6 x - 9 - 2 x^{2} - (- 10 x) - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 2.7.6.9

$- 10$ に $- 1$ をかけます。

$- x^{2} + 6 x - 9 - 2 x^{2} + 10 x - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 2.7.6.10

$- 6$ を $x$ の左に移動させます。

$- x^{2} + 6 x - 9 - 2 x^{2} + 10 x - (- 6 \cdot x) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 2.7.6.11

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$- x^{2} + 6 x - 9 - 2 x^{2} + 10 x + 6 x - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 2.7.6.12

$- 5$ に $- 6$ をかけます。

$- x^{2} + 6 x - 9 - 2 x^{2} + 10 x + 6 x - 1 \cdot 30$

ステップ 2.7.6.13

$- 1$ に $30$ をかけます。

$- x^{2} + 6 x - 9 - 2 x^{2} + 10 x + 6 x - 30$

ステップ 2.7.6.14

$10 x$ と $6 x$ をたし算します。

$- x^{2} + 6 x - 9 - 2 x^{2} + 16 x - 30$

ステップ 2.7.6.15

$- x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$- 3 x^{2} + 6 x - 9 + 16 x - 30$

ステップ 2.7.6.16

$6 x$ と $16 x$ をたし算します。

$- 3 x^{2} + 22 x - 9 - 30$

ステップ 2.7.6.17

$- 9$ から $30$ を引きます。

$- 3 x^{2} + 22 x - 39$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $- 3 x^{2} + 22 x - 39$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [22 x] + \frac{d}{d x} [- 39]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (22 x) + \frac{d}{d x} (- 39)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{2}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (22 x) + \frac{d}{d x} (- 39)$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (22 x) + \frac{d}{d x} (- 39)$

ステップ 3.2.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (22 x) + \frac{d}{d x} (- 39)$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [22 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$22$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $22 x$ の微分係数は $22 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 6 x + 22 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 39)$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 6 x + 22 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 39)$

ステップ 3.3.3

$22$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 x + 22 + \frac{d}{d x} (- 39)$

ステップ 3.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$- 39$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 39$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 6 x + 22 + 0$

ステップ 3.4.2

$- 6 x + 22$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 6 x + 22$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 3 x^{2} + 22 x - 39 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

${(x - 3)}^{2}$ を $(x - 3) (x - 3)$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- (x - 3) (x - 3) (x - 5))$

ステップ 5.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 3) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (x - 5))$

ステップ 5.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (x - 5))$

ステップ 5.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (x - 5))$

ステップ 5.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (x - 5))$

ステップ 5.1.3.1.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (x - 5))$

ステップ 5.1.3.1.3

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (x - 5))$

ステップ 5.1.3.2

$- 3 x$ から $3 x$ を引きます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- (x^{2} - 6 x + 9) (x - 5))$

ステップ 5.1.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- (x^{2} - 6 x + 9) (x - 5)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [(x^{2} - 6 x + 9) (x - 5)]$ です。

$f' (x) = - \frac{d}{d x} ((x^{2} - 6 x + 9) (x - 5))$

ステップ 5.1.5

$f' (x) = - ((x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 5) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x + 9))$

ステップ 5.1.6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f' (x) = - ((x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5)) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x + 9))$

ステップ 5.1.6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - ((x^{2} - 6 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} (- 5)) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x + 9))$

ステップ 5.1.6.3

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - ((x^{2} - 6 x + 9) (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x + 9))$

ステップ 5.1.6.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - ((x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x + 9))$

ステップ 5.1.6.4.2

$x^{2} - 6 x + 9$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - (x^{2} - 6 x + 9 + (x - 5) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x + 9))$

ステップ 5.1.6.5

総和則では、 $x^{2} - 6 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$f' (x) = - (x^{2} - 6 x + 9 + (x - 5) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (9)))$

ステップ 5.1.6.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - (x^{2} - 6 x + 9 + (x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (9)))$

ステップ 5.1.6.7

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = - (x^{2} - 6 x + 9 + (x - 5) (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)))$

ステップ 5.1.6.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - (x^{2} - 6 x + 9 + (x - 5) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)))$

ステップ 5.1.6.9

$- 6$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - (x^{2} - 6 x + 9 + (x - 5) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (9)))$

ステップ 5.1.6.10

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - (x^{2} - 6 x + 9 + (x - 5) (2 x - 6 + 0))$

ステップ 5.1.6.11

$2 x - 6$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - (x^{2} - 6 x + 9 + (x - 5) (2 x - 6))$

ステップ 5.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9 - ((x - 5) (2 x - 6))$

ステップ 5.1.7.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9 - ((x - 5) (2 x) + (x - 5) \cdot - 6)$

ステップ 5.1.7.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9 - (x (2 x) - 5 (2 x) + (x - 5) \cdot - 6)$

ステップ 5.1.7.4

分配則を当てはめます。

$f' (x) = - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9 - (x (2 x) - 5 (2 x) + x \cdot - 6 - 5 \cdot - 6)$

ステップ 5.1.7.5

分配則を当てはめます。

$f' (x) = - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9 - (x (2 x)) - (- 5 (2 x)) - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 5.1.7.6

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.6.1

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 9 - (x (2 x)) - (- 5 (2 x)) - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 5.1.7.6.2

$- 1$ に $9$ をかけます。

$f' (x) = - x^{2} + 6 x - 9 - (x (2 x)) - (- 5 (2 x)) - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 5.1.7.6.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = - x^{2} + 6 x - 9 - (2 (x \cdot x)) - (- 5 (2 x)) - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 5.1.7.6.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = - x^{2} + 6 x - 9 - (2 (x \cdot x)) - (- 5 (2 x)) - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 5.1.7.6.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = - x^{2} + 6 x - 9 - (2 x^{1 + 1}) - (- 5 (2 x)) - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 5.1.7.6.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = - x^{2} + 6 x - 9 - (2 x^{2}) - (- 5 (2 x)) - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 5.1.7.6.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - x^{2} + 6 x - 9 - 2 x^{2} - (- 5 (2 x)) - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 5.1.7.6.8

$2$ に $- 5$ をかけます。

$f' (x) = - x^{2} + 6 x - 9 - 2 x^{2} - (- 10 x) - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 5.1.7.6.9

$- 10$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - x^{2} + 6 x - 9 - 2 x^{2} + 10 x - (x \cdot - 6) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 5.1.7.6.10

$- 6$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = - x^{2} + 6 x - 9 - 2 x^{2} + 10 x - (- 6 \cdot x) - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 5.1.7.6.11

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = - x^{2} + 6 x - 9 - 2 x^{2} + 10 x + 6 x - (- 5 \cdot - 6)$

ステップ 5.1.7.6.12

$- 5$ に $- 6$ をかけます。

$f' (x) = - x^{2} + 6 x - 9 - 2 x^{2} + 10 x + 6 x - 1 \cdot 30$

ステップ 5.1.7.6.13

$- 1$ に $30$ をかけます。

$f' (x) = - x^{2} + 6 x - 9 - 2 x^{2} + 10 x + 6 x - 30$

ステップ 5.1.7.6.14

$10 x$ と $6 x$ をたし算します。

$f' (x) = - x^{2} + 6 x - 9 - 2 x^{2} + 16 x - 30$

ステップ 5.1.7.6.15

$- x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x - 9 + 16 x - 30$

ステップ 5.1.7.6.16

$6 x$ と $16 x$ をたし算します。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 22 x - 9 - 30$

ステップ 5.1.7.6.17

$- 9$ から $30$ を引きます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 22 x - 39$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3 x^{2} + 22 x - 39$ です。

$- 3 x^{2} + 22 x - 39$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 x^{2} + 22 x - 39 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 x^{2} + 22 x - 39 = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$- 1$ を $- 3 x^{2} + 22 x - 39$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$- (3 x^{2}) + 22 x - 39 = 0$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を $22 x$ で因数分解します。

$- (3 x^{2}) - (- 22 x) - 39 = 0$

ステップ 6.2.1.3

$- 39$ を $- 1 (39)$ に書き換えます。

$- (3 x^{2}) - (- 22 x) - 1 \cdot 39 = 0$

ステップ 6.2.1.4

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - (- 22 x)$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} - 22 x) - 1 \cdot 39 = 0$

ステップ 6.2.1.5

$- 1$ を $- (3 x^{2} - 22 x) - 1 (39)$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} - 22 x + 39) = 0$

ステップ 6.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot 39 = 117$ で和が $b = - 22$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.1.1

$- 22$ を $- 22 x$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} - 22 x + 39) = 0$

ステップ 6.2.2.1.1.2

$- 22$ を $- 9$ プラス $- 13$ に書き換える

$- (3 x^{2} + (- 9 - 13) x + 39) = 0$

ステップ 6.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$- (3 x^{2} - 9 x - 13 x + 39) = 0$

ステップ 6.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- ((3 x^{2} - 9 x) - 13 x + 39) = 0$

ステップ 6.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- (3 x (x - 3) - 13 (x - 3)) = 0$

ステップ 6.2.2.1.3

最大公約数 $x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- ((x - 3) (3 x - 13)) = 0$

ステップ 6.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 3) (3 x - 13) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$3 x - 13 = 0$

ステップ 6.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 6.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 6.5

$3 x - 13$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$3 x - 13$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 13 = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ について $3 x - 13 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

方程式の両辺に $13$ を足します。

$3 x = 13$

ステップ 6.5.2.2

$3 x = 13$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1

$3 x = 13$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{13}{3}$

ステップ 6.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{13}{3}$

ステップ 6.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{13}{3}$

ステップ 6.6

最終解は $- (x - 3) (3 x - 13) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, \frac{13}{3}$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 3, \frac{13}{3}$

ステップ 9

$x = 3$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 6 \cdot 3 + 22$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$- 6$ に $3$ をかけます。

$- 18 + 22$

ステップ 10.2

$- 18$ と $22$ をたし算します。

$4$

ステップ 11

$x = 3$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 3$ は極小値です

ステップ 12

$x = 3$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = - {((3) - 3)}^{2} ((3) - 5)$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$3$ から $3$ を引きます。

$f (3) = - 0^{2} ((3) - 5)$

ステップ 12.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (3) = 0 ((3) - 5)$

ステップ 12.2.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (3) = 0 ((3) - 5)$

ステップ 12.2.4

$3$ から $5$ を引きます。

$f (3) = 0 \cdot - 2$

ステップ 12.2.5

$0$ に $- 2$ をかけます。

$f (3) = 0$

ステップ 12.2.6

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 13

$x = \frac{13}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 6 (\frac{13}{3}) + 22$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1.1

$3$ を $- 6$ で因数分解します。

$3 (- 2) \frac{13}{3} + 22$

ステップ 14.1.1.2

共通因数を約分します。

$3 \cdot - 2 \frac{13}{3} + 22$

ステップ 14.1.1.3

式を書き換えます。

$- 2 \cdot 13 + 22$

ステップ 14.1.2

$- 2$ に $13$ をかけます。

$- 26 + 22$

ステップ 14.2

$- 26$ と $22$ をたし算します。

$- 4$

ステップ 15

$x = \frac{13}{3}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{13}{3}$ は極大値です

ステップ 16

$x = \frac{13}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $\frac{13}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{13}{3}) = - {((\frac{13}{3}) - 3)}^{2} ((\frac{13}{3}) - 5)$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{13}{3}) = - {(\frac{13}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})}^{2} ((\frac{13}{3}) - 5)$

ステップ 16.2.2

$- 3$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{13}{3}) = - {(\frac{13}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})}^{2} ((\frac{13}{3}) - 5)$

ステップ 16.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{13}{3}) = - {(\frac{13 - 3 \cdot 3}{3})}^{2} ((\frac{13}{3}) - 5)$

ステップ 16.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.4.1

$- 3$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{13}{3}) = - {(\frac{13 - 9}{3})}^{2} ((\frac{13}{3}) - 5)$

ステップ 16.2.4.2

$13$ から $9$ を引きます。

$f (\frac{13}{3}) = - {(\frac{4}{3})}^{2} ((\frac{13}{3}) - 5)$

ステップ 16.2.5

積の法則を $\frac{4}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{13}{3}) = - \frac{4^{2}}{3^{2}} \cdot ((\frac{13}{3}) - 5)$

ステップ 16.2.6

$4$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{13}{3}) = - \frac{16}{3^{2}} \cdot ((\frac{13}{3}) - 5)$

ステップ 16.2.7

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{13}{3}) = - \frac{16}{9} \cdot ((\frac{13}{3}) - 5)$

ステップ 16.2.8

$- 5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{13}{3}) = - \frac{16}{9} \cdot (\frac{13}{3} - 5 \cdot \frac{3}{3})$

ステップ 16.2.9

$- 5$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{13}{3}) = - \frac{16}{9} \cdot (\frac{13}{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{3})$

ステップ 16.2.10

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{13}{3}) = - \frac{16}{9} \cdot \frac{13 - 5 \cdot 3}{3}$

ステップ 16.2.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.11.1

$- 5$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{13}{3}) = - \frac{16}{9} \cdot \frac{13 - 15}{3}$

ステップ 16.2.11.2

$13$ から $15$ を引きます。

$f (\frac{13}{3}) = - \frac{16}{9} \cdot \frac{- 2}{3}$

ステップ 16.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{13}{3}) = - \frac{16}{9} \cdot (- \frac{2}{3})$

ステップ 16.2.13

$- \frac{16}{9} (- \frac{2}{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.13.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{13}{3}) = 1 (\frac{16}{9}) \cdot \frac{2}{3}$

ステップ 16.2.13.2

$\frac{16}{9}$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{13}{3}) = \frac{16}{9} \cdot \frac{2}{3}$

ステップ 16.2.13.3

$\frac{16}{9}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$f (\frac{13}{3}) = \frac{16 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

ステップ 16.2.13.4

$16$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{13}{3}) = \frac{32}{9 \cdot 3}$

ステップ 16.2.13.5

$9$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{13}{3}) = \frac{32}{27}$

ステップ 16.2.14

最終的な答えは $\frac{32}{27}$ です。

$y = \frac{32}{27}$

ステップ 17

$f (x) = - {(x - 3)}^{2} (x - 5)$ の極値です。

$(3, 0)$ は極小値です

$(\frac{13}{3}, \frac{32}{27})$ は極大値です

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例