微分積分例

$y = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$

ステップ 1

$y = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 e^{- x}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$e^{x} - 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$e^{x} - 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} - 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$e^{x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.3.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$e^{x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.3.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$e^{x} - 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.3.8

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$e^{x} + 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

ステップ 2.4

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \cdot 1$

ステップ 2.4.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$e^{x} + 3 e^{- x} - 4$

ステップ 2.5

項を並べ替えます。

$3 e^{- x} + e^{x} - 4$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $3 e^{- x} + e^{x} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [3 e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 e^{- x}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 3.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 3.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 3.2.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 3.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 3.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 3.2.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 3.2.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 3.2.8

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 3.3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 3.4

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x} + 0$

ステップ 3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- 3 e^{- x} + e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 3 e^{- x} + e^{x}$

ステップ 3.5.2

項を並べ替えます。

$f'' (x) = e^{x} - 3 e^{- x}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

総和則では、 $e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 5.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- 3 e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 e^{- x}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ です。

$f' (x) = e^{x} - 3 \frac{d}{d x} e^{- x} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 5.1.3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x$ とします。

$f' (x) = e^{x} - 3 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 5.1.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 5.1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 5.1.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 5.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 5.1.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = e^{x} - 3 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 5.1.3.6

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$f' (x) = e^{x} - 3 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 5.1.3.7

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$f' (x) = e^{x} - 3 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 5.1.3.8

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

ステップ 5.1.4

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \frac{d}{d x} x$

ステップ 5.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4 \cdot 1$

ステップ 5.1.4.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = e^{x} + 3 e^{- x} - 4$

ステップ 5.1.5

項を並べ替えます。

$f' (x) = 3 e^{- x} + e^{x} - 4$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 e^{- x} + e^{x} - 4$ です。

$3 e^{- x} + e^{x} - 4$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 e^{- x} + e^{x} - 4 = 0$

ステップ 6.2

$e^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$3 {(e^{x})}^{- 1} + e^{x} - 4 = 0$

ステップ 6.3

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$3 u^{- 1} + u - 4 = 0$

ステップ 6.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 (\frac{1}{u}) + u - 4 = 0$

ステップ 6.4.2

$3$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$\frac{3}{u} + u - 4 = 0$

ステップ 6.5

$\frac{3}{u}$ と $u$ を並べ替えます。

$u + \frac{3}{u} - 4 = 0$

ステップ 6.6

$u$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, u, 1, 1$

ステップ 6.6.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 6.6.2

$u + \frac{3}{u} - 4 = 0$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.1

$u + \frac{3}{u} - 4 = 0$ の各項に $u$ を掛けます。

$u \cdot u + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

ステップ 6.6.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.2.1.1

$u$ に $u$ をかけます。

$u^{2} + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

ステップ 6.6.2.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$u^{2} + \frac{3}{u} u - 4 u = 0 u$

ステップ 6.6.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$u^{2} + 3 - 4 u = 0 u$

ステップ 6.6.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.3.1

$0$ に $u$ をかけます。

$u^{2} + 3 - 4 u = 0$

ステップ 6.6.3

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.1

たすき掛けを利用して $u^{2} + 3 - 4 u$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $- 4$ です。

$- 3, - 1$

ステップ 6.6.3.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 3) (u - 1) = 0$

ステップ 6.6.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 3 = 0$

$u - 1 = 0$

ステップ 6.6.3.3

$u - 3$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.3.1

$u - 3$ が $0$ に等しいとします。

$u - 3 = 0$

ステップ 6.6.3.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$u = 3$

ステップ 6.6.3.4

$u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.4.1

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 6.6.3.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 6.6.3.5

最終解は $(u - 3) (u - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 3, 1$

ステップ 6.7

$3$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$3 = e^{x}$

ステップ 6.8

$3 = e^{x}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.1

方程式を $e^{x} = 3$ として書き換えます。

$e^{x} = 3$

ステップ 6.8.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (3)$

ステップ 6.8.3

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.8.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (3)$

ステップ 6.8.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (3)$

ステップ 6.8.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (3)$

ステップ 6.9

$1$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$1 = e^{x}$

ステップ 6.10

$1 = e^{x}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.10.1

方程式を $e^{x} = 1$ として書き換えます。

$e^{x} = 1$

ステップ 6.10.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

ステップ 6.10.3

左辺を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.10.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (1)$

ステップ 6.10.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (1)$

ステップ 6.10.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (1)$

ステップ 6.10.4

$1$ の自然対数は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6.11

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \ln (3), 0$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = \ln (3), 0$

ステップ 9

$x = \ln (3)$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$e^{\ln (3)} - 3 e^{- (\ln (3))}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$3 - 3 e^{- (\ln (3))}$

ステップ 10.1.2

対数の中の $- 1$ を移動させて $- (\ln (3))$ を簡約します。

$3 - 3 e^{\ln (3^{- 1})}$

ステップ 10.1.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$3 - 3 \cdot 3^{- 1}$

ステップ 10.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$3 - 3 \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 10.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.5.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$3 + 3 (- 1) \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 10.1.5.2

共通因数を約分します。

$3 + 3 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 10.1.5.3

式を書き換えます。

$3 - 1$

ステップ 10.2

$3$ から $1$ を引きます。

$2$

ステップ 11

$x = \ln (3)$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \ln (3)$ は極小値です

ステップ 12

$x = \ln (3)$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $\ln (3)$ で置換えます。

$f (\ln (3)) = e^{\ln (3)} - 3 e^{- (\ln (3))} - 4 \ln (3)$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (3)) = 3 - 3 e^{- (\ln (3))} - 4 \ln (3)$

ステップ 12.2.1.2

対数の中の $- 1$ を移動させて $- (\ln (3))$ を簡約します。

$f (\ln (3)) = 3 - 3 e^{\ln (3^{- 1})} - 4 \ln (3)$

ステップ 12.2.1.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\ln (3)) = 3 - 3 \cdot 3^{- 1} - 4 \ln (3)$

ステップ 12.2.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (\ln (3)) = 3 - 3 \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

ステップ 12.2.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.5.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$f (\ln (3)) = 3 + 3 (- 1) \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

ステップ 12.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$f (\ln (3)) = 3 + 3 \cdot - 1 \cdot \frac{1}{3} - 4 \ln (3)$

ステップ 12.2.1.5.3

式を書き換えます。

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - 4 \ln (3)$

ステップ 12.2.1.6

対数の中の $4$ を移動させて $- 4 \ln (3)$ を簡約します。

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - \ln (3^{4})$

ステップ 12.2.1.7

$3$ を $4$ 乗します。

$f (\ln (3)) = 3 - 1 - \ln (81)$

ステップ 12.2.2

$3$ から $1$ を引きます。

$f (\ln (3)) = 2 - \ln (81)$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $2 - \ln (81)$ です。

$y = 2 - \ln (81)$

ステップ 13

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$e^{0} - 3 e^{- (0)}$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1 - 3 e^{- (0)}$

ステップ 14.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$1 - 3 e^{0}$

ステップ 14.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$1 - 3 \cdot 1$

ステップ 14.1.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$1 - 3$

ステップ 14.2

$1$ から $3$ を引きます。

$- 2$

ステップ 15

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 16

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = e^{0} - 3 e^{- (0)} - 4 \cdot 0$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

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ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f (0) = 1 - 3 e^{- (0)} - 4 \cdot 0$

ステップ 16.2.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 1 - 3 e^{0} - 4 \cdot 0$

ステップ 16.2.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f (0) = 1 - 3 \cdot 1 - 4 \cdot 0$

ステップ 16.2.1.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f (0) = 1 - 3 - 4 \cdot 0$

ステップ 16.2.1.5

$- 4$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 1 - 3 + 0$

ステップ 16.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 16.2.2.1

$1$ から $3$ を引きます。

$f (0) = - 2 + 0$

ステップ 16.2.2.2

$- 2$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = - 2$

ステップ 16.2.3

最終的な答えは $- 2$ です。

$y = - 2$

ステップ 17

$f (x) = e^{x} - 3 e^{- x} - 4 x$ の極値です。

$(\ln (3), 2 - \ln (81))$ は極小値です

$(0, - 2)$ は極大値です

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例