微分積分例

$y = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$

ステップ 1

$y = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{5}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$ の微分係数は $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{2} x)]$ です。

$\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{2} x)]$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \frac{1}{2} x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{2} x$ とします。

$\frac{5}{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\frac{5}{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{2} x$ で置き換えます。

$\frac{5}{2} (\cos (\frac{1}{2} x) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{5}{2} (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x])$

ステップ 2.3.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$\frac{1}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{5}{2} (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 2.3.2.2

$\cos (\frac{x}{2})$ と $\frac{5}{2}$ をまとめます。

$\frac{\cos (\frac{x}{2}) \cdot 5}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 2.3.2.3

$5$ を $\cos (\frac{x}{2})$ の左に移動させます。

$\frac{5 \cdot \cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 2.3.3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{2} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.4

分数をまとめます。

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ステップ 2.3.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{2}$ をかけます。

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4} \cdot 1$

ステップ 2.3.6

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{5}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4}$ の微分係数は $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ です。

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\cos (\frac{x}{2}))$

ステップ 3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{2}))$

ステップ 3.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{5}{4} \cdot (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} \frac{x}{2})$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$\frac{5}{4}$ と $\sin (\frac{x}{2})$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{x}{2}$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{4} \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 3.3.3

分数をまとめます。

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ステップ 3.3.3.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{4}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{2 \cdot 4} \cdot \frac{d}{d x} x$

ステップ 3.3.3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{8} \cdot \frac{d}{d x} x$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{8} \cdot 1$

ステップ 3.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{5 \sin (\frac{x}{2})}{8}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{4} = 0$

ステップ 5

分子を0に等しくします。

$5 \cos (\frac{x}{2}) = 0$

ステップ 6

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 6.1

$5 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.1.1

$5 \cos (\frac{x}{2}) = 0$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{0}{5}$

ステップ 6.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.1.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{0}{5}$

ステップ 6.1.2.1.2

$\cos (\frac{x}{2})$ を $1$ で割ります。

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{0}{5}$

ステップ 6.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

$0$ を $5$ で割ります。

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 6.4

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$x = π$

ステップ 6.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 6.6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.6.1

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

ステップ 6.6.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.6.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

ステップ 6.6.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

ステップ 6.6.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.6.2.2.1

$2 (2 π - \frac{π}{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.2.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 6.6.2.2.1.2

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

ステップ 6.6.2.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 6.6.2.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.2.1.4.1

共通因数を約分します。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 6.6.2.2.1.4.2

式を書き換えます。

$x = 2 π \cdot 2 - π$

ステップ 6.6.2.2.1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$x = 4 π - π$

ステップ 6.6.2.2.1.6

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = 3 π$

ステップ 6.7

方程式 $\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = π, 3 π$

ステップ 7

$x = π$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{5 \sin (\frac{π}{2})}{8}$

ステップ 8

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 8.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{5 \cdot 1}{8}$

ステップ 8.2

$5$ に $1$ をかけます。

$- \frac{5}{8}$

ステップ 9

$x = π$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = π$ は極大値です

ステップ 10

$x = π$ のときy値を求めます。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $π$ で置換えます。

$f (π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot (π))$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$\frac{1}{2}$ と $π$ をまとめます。

$f (π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 10.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (π) = \frac{5}{2} \cdot 1$

ステップ 10.2.3

$\frac{5}{2}$ に $1$ をかけます。

$f (π) = \frac{5}{2}$

ステップ 10.2.4

最終的な答えは $\frac{5}{2}$ です。

$y = \frac{5}{2}$

ステップ 11

$x = 3 π$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{5 \sin (\frac{3 π}{2})}{8}$

ステップ 12

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{5 (- \sin (\frac{π}{2}))}{8}$

ステップ 12.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{5 (- 1 \cdot 1)}{8}$

ステップ 12.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{5 \cdot - 1}{8}$

ステップ 12.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{- 5}{8}$

ステップ 12.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{5}{8}$

ステップ 12.3

$- - \frac{5}{8}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{5}{8})$

ステップ 12.3.2

$\frac{5}{8}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5}{8}$

ステップ 13

$x = 3 π$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 3 π$ は極小値です

ステップ 14

$x = 3 π$ のときy値を求めます。

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ステップ 14.1

式の変数 $x$ を $3 π$ で置換えます。

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot (3 π))$

ステップ 14.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$\frac{1}{2} (3 π)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1.1

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{3}{2} \cdot π)$

ステップ 14.2.1.2

$\frac{3}{2}$ と $π$ をまとめます。

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 14.2.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot (- \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 14.2.3

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot (- 1 \cdot 1)$

ステップ 14.2.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (3 π) = \frac{5}{2} \cdot - 1$

ステップ 14.2.5

$\frac{5}{2} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.5.1

$\frac{5}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$f (3 π) = \frac{5 \cdot - 1}{2}$

ステップ 14.2.5.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$f (3 π) = \frac{- 5}{2}$

ステップ 14.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (3 π) = - \frac{5}{2}$

ステップ 14.2.7

最終的な答えは $- \frac{5}{2}$ です。

$y = - \frac{5}{2}$

ステップ 15

$f (x) = \frac{5}{2} \cdot \sin (\frac{1}{2} x)$ の極値です。

$(π, \frac{5}{2})$ は極大値です

$(3 π, - \frac{5}{2})$ は極小値です

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例