微分積分例

$y = {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

$y = {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3}}$ を関数で書きます。

$f (x) = {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = 2 x - 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - 8$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

ステップ 2.1.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x - 8$ で置き換えます。

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

ステップ 2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

ステップ 2.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

ステップ 2.5.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

ステップ 2.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

ステップ 2.6.2

$\frac{2}{3}$ と ${(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$\frac{2 {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

ステップ 2.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x - 8]$

ステップ 2.7

総和則では、 $2 x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 2.8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 2.10

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 8])$

ステップ 2.11

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} (2 + 0)$

ステップ 2.12

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 2$

ステップ 2.12.2

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2.12.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\frac{4}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ の微分係数は $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 3.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$\frac{1}{{(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ を ${({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

ステップ 3.1.2.2

${({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

ステップ 3.1.2.2.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(2 x - 8)}^{\frac{- 1}{3}})$

ステップ 3.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}})$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ および $g (x) = 2 x - 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - 8$ とします。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

ステップ 3.2.2

$n = - \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x - 8$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

ステップ 3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

ステップ 3.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

ステップ 3.6.2

$- 1$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

ステップ 3.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

ステップ 3.7.2

${(2 x - 8)}^{- \frac{4}{3}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{{(2 x - 8)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

ステップ 3.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 x - 8)}^{- \frac{4}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 8))$

ステップ 3.7.4

$\frac{4}{3}$ に $\frac{1}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{4}{3 (3 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

ステップ 3.7.5

$3$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

ステップ 3.8

総和則では、 $2 x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8))$

ステップ 3.9

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8))$

ステップ 3.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8))$

ステップ 3.11

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- 8))$

ステップ 3.12

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot (2 + 0)$

ステップ 3.13

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 2$

ステップ 3.13.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 \frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3.13.3

$- 2$ と $\frac{4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 \cdot 4}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3.13.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.13.4.1

$- 2$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 8}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 3.13.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{8}{9 {(2 x - 8)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ および $g (x) = 2 x - 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - 8$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

ステップ 5.1.1.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

ステップ 5.1.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x - 8$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

ステップ 5.1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

ステップ 5.1.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

ステップ 5.1.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

ステップ 5.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

ステップ 5.1.5.2

$2$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

ステップ 5.1.6

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

ステップ 5.1.6.2

$\frac{2}{3}$ と ${(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 {(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

ステップ 5.1.6.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 x - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 8)$

ステップ 5.1.7

総和則では、 $2 x - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8))$

ステップ 5.1.8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8))$

ステップ 5.1.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8))$

ステップ 5.1.10

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- 8))$

ステップ 5.1.11

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (2 + 0)$

ステップ 5.1.12

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.12.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 2$

ステップ 5.1.12.2

$\frac{2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ と $2$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot 2}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 5.1.12.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ です。

$\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 6.2

分子を0に等しくします。

$4 = 0$

ステップ 6.3

$4 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 7.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 7.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{4}{3 \sqrt[3]{{(2 x - 8)}^{1}}}$

ステップ 7.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{4}{3 \sqrt[3]{2 x - 8}}$

ステップ 7.2

$\frac{4}{3 \sqrt[3]{2 x - 8}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 \sqrt[3]{2 x - 8} = 0$

ステップ 7.3

$x$ について解きます。

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ステップ 7.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${(3 \sqrt[3]{2 x - 8})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 7.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{2 x - 8}$ を ${(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1

${(3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

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ステップ 7.3.2.2.1.1

積の法則を $3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$3^{3} {({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$27 {({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.2.1.3

${({(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$27 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$27 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$27 {(2 x - 8)}^{1} = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.2.1.4

簡約します。

$27 (2 x - 8) = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$27 (2 x) + 27 \cdot - 8 = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.2.1.6

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.6.1

$2$ に $27$ をかけます。

$54 x + 27 \cdot - 8 = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.2.1.6.2

$27$ に $- 8$ をかけます。

$54 x - 216 = 0^{3}$

ステップ 7.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$54 x - 216 = 0$

ステップ 7.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 7.3.3.1

方程式の両辺に $216$ を足します。

$54 x = 216$

ステップ 7.3.3.2

$54 x = 216$ の各項を $54$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.2.1

$54 x = 216$ の各項を $54$ で割ります。

$\frac{54 x}{54} = \frac{216}{54}$

ステップ 7.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.2.2.1

$54$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{54 x}{54} = \frac{216}{54}$

ステップ 7.3.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{216}{54}$

ステップ 7.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.2.3.1

$216$ を $54$ で割ります。

$x = 4$

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 4$

ステップ 9

$x = 4$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{8}{9 {(2 (4) - 8)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 10.1

式を簡約します。

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ステップ 10.1.1

$2$ に $4$ をかけます。

$- \frac{8}{9 {(8 - 8)}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 10.1.2

$8$ から $8$ を引きます。

$- \frac{8}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 10.1.3

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$- \frac{8}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 10.1.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{8}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

ステップ 10.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{8}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

ステップ 10.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{8}{9 \cdot 0^{4}}$

ステップ 10.3

式を簡約します。

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ステップ 10.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{8}{9 \cdot 0}$

ステップ 10.3.2

$9$ に $0$ をかけます。

$- \frac{8}{0}$

ステップ 10.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- \frac{8}{0}$

ステップ 10.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 11

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 11.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 11.2

一次導関数 $\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ の区間 $(- \infty, 4)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 11.2.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = \frac{4}{3 {(2 (0) - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 11.2.2.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = \frac{4}{3 {(0 - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.2.2.1.2

$0$ から $8$ を引きます。

$f' (0) = \frac{4}{3 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.2.2.1.3

$- 8$ を ${(- 2)}^{3}$ に書き換えます。

$f' (0) = \frac{4}{3 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.2.2.1.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (0) = \frac{4}{3 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

ステップ 11.2.2.1.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.2.1.5.1

共通因数を約分します。

$f' (0) = \frac{4}{3 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

ステップ 11.2.2.1.5.2

式を書き換えます。

$f' (0) = \frac{4}{3 (- 2)}$

ステップ 11.2.2.1.6

指数を求めます。

$f' (0) = \frac{4}{3 \cdot - 2}$

ステップ 11.2.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 11.2.2.2.1

$3$ に $- 2$ をかけます。

$f' (0) = \frac{4}{- 6}$

ステップ 11.2.2.2.2

$4$ と $- 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.2.2.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f' (0) = \frac{2 (2)}{- 6}$

ステップ 11.2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.2.2.2.2.1

$2$ を $- 6$ で因数分解します。

$f' (0) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 3}$

ステップ 11.2.2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f' (0) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 3}$

ステップ 11.2.2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f' (0) = \frac{2}{- 3}$

ステップ 11.2.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (0) = - \frac{2}{3}$

ステップ 11.2.2.3

最終的な答えは $- \frac{2}{3}$ です。

$- \frac{2}{3}$

ステップ 11.3

一次導関数 $\frac{4}{3 {(2 x - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ の区間 $(4, \infty)$ から $6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 11.3.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f' (6) = \frac{4}{3 {(2 (6) - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 11.3.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1.1

$2$ に $6$ をかけます。

$f' (6) = \frac{4}{3 {(12 - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3.2.1.2

$12$ から $8$ を引きます。

$f' (6) = \frac{4}{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 11.3.2.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $4^{\frac{1}{3}}$ を分子に移動させます。

$f' (6) = \frac{4 \cdot 4^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.2.3

指数を足して $4$ に $4^{- \frac{1}{3}}$ を掛けます。

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ステップ 11.3.2.3.1

$4$ に $4^{- \frac{1}{3}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.3.1.1

$4$ を $1$ 乗します。

$f' (6) = \frac{4 \cdot 4^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (6) = \frac{4^{1 - \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (6) = \frac{4^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (6) = \frac{4^{\frac{3 - 1}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.2.3.4

$3$ から $1$ を引きます。

$f' (6) = \frac{4^{\frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 11.3.2.4

最終的な答えは $\frac{4^{\frac{2}{3}}}{3}$ です。

$\frac{4^{\frac{2}{3}}}{3}$

ステップ 11.4

$x = 4$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 4$ は極小値です。

$x = 4$ は極小値です

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例