微分積分例

$y = {(11 - 2 x)}^{2} x$

ステップ 1

$y = {(11 - 2 x)}^{2} x$ を関数で書きます。

$f (x) = {(11 - 2 x)}^{2} x$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

${(11 - 2 x)}^{2}$ を $(11 - 2 x) (11 - 2 x)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(11 - 2 x) (11 - 2 x) x]$

ステップ 2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(11 - 2 x) (11 - 2 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(11 (11 - 2 x) - 2 x (11 - 2 x)) x]$

ステップ 2.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(11 \cdot 11 + 11 (- 2 x) - 2 x (11 - 2 x)) x]$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(11 \cdot 11 + 11 (- 2 x) - 2 x \cdot 11 - 2 x (- 2 x)) x]$

ステップ 2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

$11$ に $11$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(121 + 11 (- 2 x) - 2 x \cdot 11 - 2 x (- 2 x)) x]$

ステップ 2.3.1.2

$- 2$ に $11$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 2 x \cdot 11 - 2 x (- 2 x)) x]$

ステップ 2.3.1.3

$11$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x - 2 x (- 2 x)) x]$

ステップ 2.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x) x]$

ステップ 2.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)) x]$

ステップ 2.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x - 2 \cdot - 2 x^{2}) x]$

ステップ 2.3.1.6

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x + 4 x^{2}) x]$

ステップ 2.3.2

$- 22 x$ から $22 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [(121 - 44 x + 4 x^{2}) x]$

ステップ 2.4

$f (x) = 121 - 44 x + 4 x^{2}$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(121 - 44 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [121 - 44 x + 4 x^{2}]$

ステップ 2.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(121 - 44 x + 4 x^{2}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [121 - 44 x + 4 x^{2}]$

ステップ 2.5.2

$121 - 44 x + 4 x^{2}$ に $1$ をかけます。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x \frac{d}{d x} [121 - 44 x + 4 x^{2}]$

ステップ 2.5.3

総和則では、 $121 - 44 x + 4 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 44 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ です。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (\frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 44 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 2.5.4

$121$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $121$ の微分係数は $0$ です。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (0 + \frac{d}{d x} [- 44 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 2.5.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 44 x]$ をたし算します。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (\frac{d}{d x} [- 44 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 2.5.6

$- 44$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 44 x$ の微分係数は $- 44 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 2.5.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 2.5.8

$- 44$ に $1$ をかけます。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 2.5.9

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.5.10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 + 4 (2 x))$

ステップ 2.5.11

$2$ に $4$ をかけます。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 + 8 x)$

ステップ 2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x \cdot - 44 + x (8 x)$

ステップ 2.6.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$- 44$ を $x$ の左に移動させます。

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 \cdot x + x (8 x)$

ステップ 2.6.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 x + 8 (x^{1} x)$

ステップ 2.6.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 x + 8 (x^{1} x^{1})$

ステップ 2.6.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 x + 8 x^{1 + 1}$

ステップ 2.6.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 x + 8 x^{2}$

ステップ 2.6.2.6

$- 44 x$ から $44 x$ を引きます。

$121 + 4 x^{2} - 88 x + 8 x^{2}$

ステップ 2.6.2.7

$4 x^{2}$ と $8 x^{2}$ をたし算します。

$121 + 12 x^{2} - 88 x$

ステップ 2.6.3

項を並べ替えます。

$12 x^{2} - 88 x + 121$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $12 x^{2} - 88 x + 121$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 88 x] + \frac{d}{d x} [121]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 88 x) + \frac{d}{d x} (121)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{2}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 88 x) + \frac{d}{d x} (121)$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 88 x) + \frac{d}{d x} (121)$

ステップ 3.2.3

$2$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 88 x) + \frac{d}{d x} (121)$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 88 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 88$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 88 x$ の微分係数は $- 88 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 24 x - 88 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (121)$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 24 x - 88 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (121)$

ステップ 3.3.3

$- 88$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 24 x - 88 + \frac{d}{d x} (121)$

ステップ 3.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

$121$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $121$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 24 x - 88 + 0$

ステップ 3.4.2

$24 x - 88$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 24 x - 88$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$12 x^{2} - 88 x + 121 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

${(11 - 2 x)}^{2}$ を $(11 - 2 x) (11 - 2 x)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(11 - 2 x) (11 - 2 x) x]$

ステップ 5.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(11 - 2 x) (11 - 2 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(11 (11 - 2 x) - 2 x (11 - 2 x)) x]$

ステップ 5.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(11 \cdot 11 + 11 (- 2 x) - 2 x (11 - 2 x)) x]$

ステップ 5.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [(11 \cdot 11 + 11 (- 2 x) - 2 x \cdot 11 - 2 x (- 2 x)) x]$

ステップ 5.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

$11$ に $11$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(121 + 11 (- 2 x) - 2 x \cdot 11 - 2 x (- 2 x)) x]$

ステップ 5.1.3.1.2

$- 2$ に $11$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 2 x \cdot 11 - 2 x (- 2 x)) x]$

ステップ 5.1.3.1.3

$11$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x - 2 x (- 2 x)) x]$

ステップ 5.1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x) x]$

ステップ 5.1.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)) x]$

ステップ 5.1.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x - 2 \cdot - 2 x^{2}) x]$

ステップ 5.1.3.1.6

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [(121 - 22 x - 22 x + 4 x^{2}) x]$

ステップ 5.1.3.2

$- 22 x$ から $22 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [(121 - 44 x + 4 x^{2}) x]$

ステップ 5.1.4

$(121 - 44 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [121 - 44 x + 4 x^{2}]$

ステップ 5.1.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(121 - 44 x + 4 x^{2}) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [121 - 44 x + 4 x^{2}]$

ステップ 5.1.5.2

$121 - 44 x + 4 x^{2}$ に $1$ をかけます。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x \frac{d}{d x} [121 - 44 x + 4 x^{2}]$

ステップ 5.1.5.3

総和則では、 $121 - 44 x + 4 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 44 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ です。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (\frac{d}{d x} [121] + \frac{d}{d x} [- 44 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 5.1.5.4

$121$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $121$ の微分係数は $0$ です。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (0 + \frac{d}{d x} [- 44 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 5.1.5.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 44 x]$ をたし算します。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (\frac{d}{d x} [- 44 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 5.1.5.6

$- 44$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 44 x$ の微分係数は $- 44 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 5.1.5.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 5.1.5.8

$- 44$ に $1$ をかけます。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

ステップ 5.1.5.9

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 5.1.5.10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 + 4 (2 x))$

ステップ 5.1.5.11

$2$ に $4$ をかけます。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x (- 44 + 8 x)$

ステップ 5.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

分配則を当てはめます。

$121 - 44 x + 4 x^{2} + x \cdot - 44 + x (8 x)$

ステップ 5.1.6.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.2.1

$- 44$ を $x$ の左に移動させます。

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 \cdot x + x (8 x)$

ステップ 5.1.6.2.2

$x$ を $1$ 乗します。

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 x + 8 (x^{1} x)$

ステップ 5.1.6.2.3

$x$ を $1$ 乗します。

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 x + 8 (x^{1} x^{1})$

ステップ 5.1.6.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 x + 8 x^{1 + 1}$

ステップ 5.1.6.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$121 - 44 x + 4 x^{2} - 44 x + 8 x^{2}$

ステップ 5.1.6.2.6

$- 44 x$ から $44 x$ を引きます。

$121 + 4 x^{2} - 88 x + 8 x^{2}$

ステップ 5.1.6.2.7

$4 x^{2}$ と $8 x^{2}$ をたし算します。

$121 + 12 x^{2} - 88 x$

ステップ 5.1.6.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = 12 x^{2} - 88 x + 121$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{2} - 88 x + 121$ です。

$12 x^{2} - 88 x + 121$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 88 x + 121 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 88 x + 121 = 0$

ステップ 6.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 12 \cdot 121 = 1452$ で和が $b = - 88$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 88$ を $- 88 x$ で因数分解します。

$12 x^{2} - 88 x + 121 = 0$

ステップ 6.2.1.2

$- 88$ を $- 22$ プラス $- 66$ に書き換える

$12 x^{2} + (- 22 - 66) x + 121 = 0$

ステップ 6.2.1.3

分配則を当てはめます。

$12 x^{2} - 22 x - 66 x + 121 = 0$

ステップ 6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(12 x^{2} - 22 x) - 66 x + 121 = 0$

ステップ 6.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 x (6 x - 11) - 11 (6 x - 11) = 0$

ステップ 6.2.3

最大公約数 $6 x - 11$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(6 x - 11) (2 x - 11) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$6 x - 11 = 0$

$2 x - 11 = 0$

ステップ 6.4

$6 x - 11$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$6 x - 11$ が $0$ に等しいとします。

$6 x - 11 = 0$

ステップ 6.4.2

$x$ について $6 x - 11 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.1

方程式の両辺に $11$ を足します。

$6 x = 11$

ステップ 6.4.2.2

$6 x = 11$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.1

$6 x = 11$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x}{6} = \frac{11}{6}$

ステップ 6.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x}{6} = \frac{11}{6}$

ステップ 6.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{11}{6}$

ステップ 6.5

$2 x - 11$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$2 x - 11$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 11 = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ について $2 x - 11 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

方程式の両辺に $11$ を足します。

$2 x = 11$

ステップ 6.5.2.2

$2 x = 11$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1

$2 x = 11$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{11}{2}$

ステップ 6.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{11}{2}$

ステップ 6.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{11}{2}$

ステップ 6.6

最終解は $(6 x - 11) (2 x - 11) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{11}{6}, \frac{11}{2}$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = \frac{11}{6}, \frac{11}{2}$

ステップ 9

$x = \frac{11}{6}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$24 (\frac{11}{6}) - 88$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1.1

$6$ を $24$ で因数分解します。

$6 (4) \frac{11}{6} - 88$

ステップ 10.1.1.2

共通因数を約分します。

$6 \cdot 4 \frac{11}{6} - 88$

ステップ 10.1.1.3

式を書き換えます。

$4 \cdot 11 - 88$

ステップ 10.1.2

$4$ に $11$ をかけます。

$44 - 88$

ステップ 10.2

$44$ から $88$ を引きます。

$- 44$

ステップ 11

$x = \frac{11}{6}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{11}{6}$ は極大値です

ステップ 12

$x = \frac{11}{6}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $\frac{11}{6}$ で置換えます。

$f (\frac{11}{6}) = {(11 - 2 (\frac{11}{6}))}^{2} (\frac{11}{6})$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1.1.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f (\frac{11}{6}) = {(11 + 2 (- 1) (\frac{11}{6}))}^{2} (\frac{11}{6})$

ステップ 12.2.1.1.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (\frac{11}{6}) = {(11 + 2 \cdot (- 1 \frac{11}{2 \cdot 3}))}^{2} (\frac{11}{6})$

ステップ 12.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{11}{6}) = {(11 + 2 \cdot (- 1 \frac{11}{2 \cdot 3}))}^{2} (\frac{11}{6})$

ステップ 12.2.1.1.4

式を書き換えます。

$f (\frac{11}{6}) = {(11 - 1 (\frac{11}{3}))}^{2} (\frac{11}{6})$

ステップ 12.2.1.2

$- 1 (\frac{11}{3})$ を $- (\frac{11}{3})$ に書き換えます。

$f (\frac{11}{6}) = {(11 - \frac{11}{3})}^{2} (\frac{11}{6})$

ステップ 12.2.2

$11$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{11}{6}) = {(11 \cdot \frac{3}{3} - \frac{11}{3})}^{2} (\frac{11}{6})$

ステップ 12.2.3

$11$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{11}{6}) = {(\frac{11 \cdot 3}{3} - \frac{11}{3})}^{2} (\frac{11}{6})$

ステップ 12.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{11}{6}) = {(\frac{11 \cdot 3 - 11}{3})}^{2} (\frac{11}{6})$

ステップ 12.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.5.1

$11$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{11}{6}) = {(\frac{33 - 11}{3})}^{2} (\frac{11}{6})$

ステップ 12.2.5.2

$33$ から $11$ を引きます。

$f (\frac{11}{6}) = {(\frac{22}{3})}^{2} (\frac{11}{6})$

ステップ 12.2.6

積の法則を $\frac{22}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{11}{6}) = \frac{22^{2}}{3^{2}} \cdot \frac{11}{6}$

ステップ 12.2.7

まとめる。

$f (\frac{11}{6}) = \frac{22^{2} \cdot 11}{3^{2} \cdot 6}$

ステップ 12.2.8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.8.1

$22$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{11}{6}) = \frac{484 \cdot 11}{3^{2} \cdot 6}$

ステップ 12.2.8.2

$3$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{11}{6}) = \frac{484 \cdot 11}{9 \cdot 6}$

ステップ 12.2.8.3

$484$ に $11$ をかけます。

$f (\frac{11}{6}) = \frac{5324}{9 \cdot 6}$

ステップ 12.2.8.4

$9$ に $6$ をかけます。

$f (\frac{11}{6}) = \frac{5324}{54}$

ステップ 12.2.9

$5324$ と $54$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.9.1

$2$ を $5324$ で因数分解します。

$f (\frac{11}{6}) = \frac{2 (2662)}{54}$

ステップ 12.2.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.9.2.1

$2$ を $54$ で因数分解します。

$f (\frac{11}{6}) = \frac{2 \cdot 2662}{2 \cdot 27}$

ステップ 12.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{11}{6}) = \frac{2 \cdot 2662}{2 \cdot 27}$

ステップ 12.2.9.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{11}{6}) = \frac{2662}{27}$

ステップ 12.2.10

最終的な答えは $\frac{2662}{27}$ です。

$y = \frac{2662}{27}$

ステップ 13

$x = \frac{11}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$24 (\frac{11}{2}) - 88$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1.1

$2$ を $24$ で因数分解します。

$2 (12) \frac{11}{2} - 88$

ステップ 14.1.1.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot 12 \frac{11}{2} - 88$

ステップ 14.1.1.3

式を書き換えます。

$12 \cdot 11 - 88$

ステップ 14.1.2

$12$ に $11$ をかけます。

$132 - 88$

ステップ 14.2

$132$ から $88$ を引きます。

$44$

ステップ 15

$x = \frac{11}{2}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{11}{2}$ は極小値です

ステップ 16

$x = \frac{11}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

式の変数 $x$ を $\frac{11}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{11}{2}) = {(11 - 2 (\frac{11}{2}))}^{2} (\frac{11}{2})$

ステップ 16.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1.1.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f (\frac{11}{2}) = {(11 + 2 (- 1) (\frac{11}{2}))}^{2} (\frac{11}{2})$

ステップ 16.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{11}{2}) = {(11 + 2 \cdot (- 1 (\frac{11}{2})))}^{2} (\frac{11}{2})$

ステップ 16.2.1.1.3

式を書き換えます。

$f (\frac{11}{2}) = {(11 - 1 \cdot 11)}^{2} (\frac{11}{2})$

ステップ 16.2.1.2

$- 1$ に $11$ をかけます。

$f (\frac{11}{2}) = {(11 - 11)}^{2} (\frac{11}{2})$

ステップ 16.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.2.1

$11$ から $11$ を引きます。

$f (\frac{11}{2}) = 0^{2} (\frac{11}{2})$

ステップ 16.2.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (\frac{11}{2}) = 0 (\frac{11}{2})$

ステップ 16.2.2.3

$0$ に $\frac{11}{2}$ をかけます。

$f (\frac{11}{2}) = 0$

ステップ 16.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$y = 0$

ステップ 17

$f (x) = {(11 - 2 x)}^{2} x$ の極値です。

$(\frac{11}{6}, \frac{2662}{27})$ は極大値です

$(\frac{11}{2}, 0)$ は極小値です

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例