微分積分例

$y = \frac{- 8}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1

$y = \frac{- 8}{{(x + 1)}^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{- 8}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [- \frac{8}{{(x + 1)}^{2}}]$

ステップ 2.1.2

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{8}{{(x + 1)}^{2}}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}]$ です。

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}]$

ステップ 2.1.3

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ を ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 8 \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

ステップ 2.1.3.2

${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 8 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 2.1.3.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 8 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 2}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$- 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 2.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$- 8 (- 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 2$ に $- 8$ をかけます。

$16 ({(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$16 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$16 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$16 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

ステップ 2.3.5

式を簡約します。

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ステップ 2.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$16 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

ステップ 2.3.5.2

$16$ に $1$ をかけます。

$16 {(x + 1)}^{- 3}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$16 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.4.2

$16$ と $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{16}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{16}{{(x + 1)}^{3}}$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}]$ です。

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{3}})$

ステップ 3.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ を ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{3})}^{- 1})$

ステップ 3.1.2.2

${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{3 \cdot - 1})$

ステップ 3.1.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 3})$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{- 3}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$f'' (x) = 16 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

ステップ 3.2.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 16 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = 16 (- 3 {(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 3$ に $16$ をかけます。

$f'' (x) = - 48 ({(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = - 48 {(x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 48 {(x + 1)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 3.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 48 {(x + 1)}^{- 4} (1 + 0)$

ステップ 3.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 48 {(x + 1)}^{- 4} \cdot 1$

ステップ 3.3.5.2

$- 48$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 48 {(x + 1)}^{- 4}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = - 48 \frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 3.4.2

項をまとめます。

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ステップ 3.4.2.1

$- 48$ と $\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 48}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 3.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{48}{{(x + 1)}^{4}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{16}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

ステップ 5

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 6

極値がありません

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例