微分積分例

$y = \sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 1

$y = \sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ を ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 3 + 2 x - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 + 2 x - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $3 + 2 x - x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

ステップ 2.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

ステップ 2.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

ステップ 2.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

ステップ 2.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 + 2 x - x^{2}]$

ステップ 2.8

総和則では、 $3 + 2 x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.9

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [2 x]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.11

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.13

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.14

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.15

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - (2 x))$

ステップ 2.16

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$

ステップ 2.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.1

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$ の因数を並べ替えます。

$(2 - 2 x) \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.17.2

$2 - 2 x$ に $\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{2 - 2 x}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.17.3

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1 - 2 x}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.17.4

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.17.5

$2$ を $2 (1) + 2 (- x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 - x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.17.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.17.6.1

$2$ を $2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (1 - x)}{2 ({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 2.17.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (1 - x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.17.6.3

式を書き換えます。

$\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$f (x) = 1 - x$ および $g (x) = {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.2

${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x)) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.4.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- x)) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.4.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.4.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} x) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 1) - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.4.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.4.6.2

$- 1$ を ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.4.6.3

$- 1 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を $- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) \frac{d}{d x} {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 3 + 2 x - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 + 2 x - x^{2}$ とします。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.5.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.5.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 + 2 x - x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.8

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.10

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.10.2

$\frac{1}{2}$ と ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.10.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.11

総和則では、 $3 + 2 x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.12

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.13

$0$ と $\frac{d}{d x} [2 x]$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.14

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.16

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.17

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - \frac{d}{d x} x^{2}))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.18

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - (2 x)))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.19

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (1 - x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - 2 x))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.20

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot 1 + x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - 2 x))}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.20.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.1

$u_{2} = {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ とします。 $u_{2}$ を ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に代入します。

$f'' (x) = \frac{- \frac{{u_{2}}^{2} + x^{2} - 2 x + 1}{u_{2}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.20.2.2

$u_{2}$ のすべての発生を ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{- \frac{{({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.20.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.3.1

${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{- \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.20.2.3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{- \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.20.2.3.1.2.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- \frac{(3 + 2 x - x^{2}) + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.20.2.3.2

簡約します。

$f'' (x) = \frac{- \frac{3 + 2 x - x^{2} + x^{2} - 2 x + 1}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.20.2.3.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- \frac{2 x - x^{2} + x^{2} - 2 x + 4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.20.2.3.4

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- \frac{- x^{2} + x^{2} + 0 + 4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.20.2.3.5

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- \frac{0 + 0 + 4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.20.2.3.6

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- \frac{0 + 4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.20.2.3.7

$0$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.20.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.3.1

$\frac{- \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{3 + 2 x - x^{2}}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 + 2 x - x^{2}}$

ステップ 3.20.3.2

$\frac{1}{3 + 2 x - x^{2}}$ に $\frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{4}{(3 + 2 x - x^{2}) {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.20.3.3

指数を足して $3 + 2 x - x^{2}$ に ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.3.3.1

$3 + 2 x - x^{2}$ に ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.20.3.3.1.1

$3 + 2 x - x^{2}$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{4}{(3 + 2 x - x^{2}) {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.20.3.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}}$

ステップ 3.20.3.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

ステップ 3.20.3.3.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

ステップ 3.20.3.3.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{4}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ を ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 5.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 3 + 2 x - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 + 2 x - x^{2}$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

ステップ 5.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

ステップ 5.1.2.3

$u$ のすべての発生を $3 + 2 x - x^{2}$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

ステップ 5.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

ステップ 5.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

ステップ 5.1.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

ステップ 5.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

ステップ 5.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

ステップ 5.1.7

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

ステップ 5.1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{{(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

ステップ 5.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(3 + 2 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (3 + 2 x - x^{2})$

ステップ 5.1.8

総和則では、 $3 + 2 x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

ステップ 5.1.9

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

ステップ 5.1.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [2 x]$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

ステップ 5.1.11

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

ステップ 5.1.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

ステップ 5.1.13

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

ステップ 5.1.14

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - \frac{d}{d x} x^{2})$

ステップ 5.1.15

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - (2 x))$

ステップ 5.1.16

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 - 2 x)$

ステップ 5.1.17

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.17.1

$\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 - 2 x)$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = (2 - 2 x) (\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 5.1.17.2

$2 - 2 x$ に $\frac{1}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 - 2 x}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.17.3

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 \cdot 1 - 2 x}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.17.4

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 \cdot 1 + 2 (- x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.17.5

$2$ を $2 (1) + 2 (- x)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (1 - x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.17.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.17.6.1

$2$ を $2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (1 - x)}{2 ({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 5.1.17.6.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{2 (1 - x)}{2 {(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.17.6.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1 - x}{{(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 6.2

分子を0に等しくします。

$1 - x = 0$

ステップ 6.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x = - 1$

ステップ 6.3.2

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.3.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{1 - x}{\sqrt{{(3 + 2 x - x^{2})}^{1}}}$

ステップ 7.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{1 - x}{\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}}$

ステップ 7.2

$\frac{1 - x}{\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{3 + 2 x - x^{2}} = 0$

ステップ 7.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 7.3.2

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ を ${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1

${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.1

${({(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(3 + 2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(3 + 2 x - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.2.1.2

簡約します。

$3 + 2 x - x^{2} = 0^{2}$

ステップ 7.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 + 2 x - x^{2} = 0$

ステップ 7.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1.1

$- 1$ を $3 + 2 x - x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1.1.1

式を並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1.1.1.1

$3$ を移動させます。

$2 x - x^{2} + 3 = 0$

ステップ 7.3.3.1.1.1.2

$2 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

ステップ 7.3.3.1.1.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

ステップ 7.3.3.1.1.3

$- 1$ を $2 x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

ステップ 7.3.3.1.1.4

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

ステップ 7.3.3.1.1.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 2 x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

ステップ 7.3.3.1.1.6

$- 1$ を $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

ステップ 7.3.3.1.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 7.3.3.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

ステップ 7.3.3.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

ステップ 7.3.3.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 7.3.3.3

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.3.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 7.3.3.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 7.3.3.4

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.4.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 7.3.3.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 7.3.3.5

最終解は $- (x - 3) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 1$

ステップ 7.4

$\sqrt{3 + 2 x - x^{2}}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 + 2 x - x^{2} < 0$

ステップ 7.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

不等式を方程式に変換します。

$3 + 2 x - x^{2} = 0$

ステップ 7.5.2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1

$- 1$ を $3 + 2 x - x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1.1

式を並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1.1.1

$3$ を移動させます。

$2 x - x^{2} + 3 = 0$

ステップ 7.5.2.1.1.2

$2 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$- x^{2} + 2 x + 3 = 0$

ステップ 7.5.2.1.2

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) + 2 x + 3 = 0$

ステップ 7.5.2.1.3

$- 1$ を $2 x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - (- 2 x) + 3 = 0$

ステップ 7.5.2.1.4

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

ステップ 7.5.2.1.5

$- 1$ を $- (x^{2}) - (- 2 x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

ステップ 7.5.2.1.6

$- 1$ を $- (x^{2} - 2 x) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$- (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

ステップ 7.5.2.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 7.5.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x - 3) (x + 1)) = 0$

ステップ 7.5.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x - 3) (x + 1) = 0$

ステップ 7.5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 7.5.4

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.4.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 7.5.4.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 7.5.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 7.5.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 7.5.6

最終解は $- (x - 3) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 3, - 1$

ステップ 7.5.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 7.5.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.8.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.8.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 7.5.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$3 + 2 (- 4) - {(- 4)}^{2} < 0$

ステップ 7.5.8.1.3

左辺 $- 21$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.5.8.2

区間 $- 1 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.8.2.1

区間 $- 1 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 7.5.8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$3 + 2 (0) - {(0)}^{2} < 0$

ステップ 7.5.8.2.3

左辺 $3$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.5.8.3

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.5.8.3.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 7.5.8.3.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$3 + 2 (6) - {(6)}^{2} < 0$

ステップ 7.5.8.3.3

左辺 $- 21$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.5.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

$x < - 1$ 真

$- 1 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

ステップ 7.5.9

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 1$ または $x > 3$

ステップ 7.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq - 1, x \geq 3$

$(- \infty, - 1] \cup [3, \infty)$

$x \leq - 1, x \geq 3$

$(- \infty, - 1] \cup [3, \infty)$

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 1, - 1, 3$

ステップ 9

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{4}{{(3 + 2 (1) - {(1)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 10.1

分母を簡約します。

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ステップ 10.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 10.1.1.1

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{4}{{(3 + 2 - 1^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.1.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{4}{{(3 + 2 - 1 \cdot 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.1.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{4}{{(3 + 2 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.1.2

$3$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{4}{{(5 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.1.3

$5$ から $1$ を引きます。

$- \frac{4}{4^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.1.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{4}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 10.1.5

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 10.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.1.6.1

共通因数を約分します。

$- \frac{4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 10.1.6.2

式を書き換えます。

$- \frac{4}{2^{3}}$

ステップ 10.1.7

$2$ を $3$ 乗します。

$- \frac{4}{8}$

ステップ 10.2

$4$ と $8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$- \frac{4 (1)}{8}$

ステップ 10.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

ステップ 10.2.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

ステップ 10.2.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 11

$x = 1$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極大値です

ステップ 12

$x = 1$ のときy値を求めます。

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ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \sqrt{3 + 2 (1) - {(1)}^{2}}$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

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ステップ 12.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \sqrt{3 + 2 - {(1)}^{2}}$

ステップ 12.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \sqrt{3 + 2 - 1 \cdot 1}$

ステップ 12.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (1) = \sqrt{3 + 2 - 1}$

ステップ 12.2.4

$3$ と $2$ をたし算します。

$f (1) = \sqrt{5 - 1}$

ステップ 12.2.5

$5$ から $1$ を引きます。

$f (1) = \sqrt{4}$

ステップ 12.2.6

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (1) = \sqrt{2^{2}}$

ステップ 12.2.7

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (1) = 2$

ステップ 12.2.8

最終的な答えは $2$ です。

$y = 2$

ステップ 13

$x = - 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{4}{{(3 + 2 (- 1) - {(- 1)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 14.1

各項を簡約します。

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ステップ 14.1.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{4}{{(3 - 2 - {(- 1)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14.1.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 14.1.2.1

$- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.2.1.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$- \frac{4}{{(3 - 2 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{4}{{(3 - 2 + {(- 1)}^{1 + 2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14.1.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{4}{{(3 - 2 + {(- 1)}^{3})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- \frac{4}{{(3 - 2 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 14.2.1

$3$ から $2$ を引きます。

$- \frac{4}{{(1 - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$- \frac{4}{0^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14.2.2.2

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{4}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 14.2.2.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{4}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 14.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{4}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 14.2.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{4}{0^{3}}$

ステップ 14.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{4}{0}$

ステップ 14.2.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$- \frac{4}{0}$

ステップ 14.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 15

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例