微分積分例

$y = 3 \arccos (x^{6})$

ステップ 1

$y = 3 \arccos (x^{6})$ を関数で書きます。

$f (x) = 3 \arccos (x^{6})$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \arccos (x^{6})$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\arccos (x^{6})]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\arccos (x^{6})]$

ステップ 2.2

$f (x) = \arccos (x)$ および $g (x) = x^{6}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{6}$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\arccos (u)$ の微分係数は $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{6}$ で置き換えます。

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{6})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${(x^{6})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{6 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 2.3.1.2

$6$ に $2$ をかけます。

$3 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 2.3.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

ステップ 2.3.2.2

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ と $- 3$ をまとめます。

$\frac{- 3}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

ステップ 2.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}} \frac{d}{d x} [x^{6}]$

ステップ 2.3.3

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}} (6 x^{5})$

ステップ 2.3.4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 6 \frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}} x^{5}$

ステップ 2.3.4.2

$- 6$ と $\frac{3}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ をまとめます。

$\frac{- 6 \cdot 3}{\sqrt{1 - x^{12}}} x^{5}$

ステップ 2.3.4.3

$- 6$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 18}{\sqrt{1 - x^{12}}} x^{5}$

ステップ 2.3.4.4

$\frac{- 18}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{- 18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$

ステップ 2.3.4.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x^{12}}$ を ${(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{18 x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 3.1.2

$- 18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{18 x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $- 18 \frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$f'' (x) = - 18 \frac{d}{d x} \frac{x^{5}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{{({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.3

${({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.3.2.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.4

簡約します。

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{5}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.5

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 18 \frac{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} (5 x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.5.2

$5$ を ${(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 \cdot ({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4}) - x^{5} \frac{d}{d x} {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.6

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 - x^{12}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x^{12}$ とします。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.6.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.6.3

$u$ のすべての発生を $1 - x^{12}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.9

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.11

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.11.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2} \cdot {(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.11.2

$\frac{1}{2}$ と ${(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{{(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.11.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x^{12})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - x^{5} (\frac{1}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{12}))}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.11.4

$\frac{1}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (1 - x^{12})}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.12

総和則では、 $1 - x^{12}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{12}]$ です。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{12}))}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.13

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{12}))}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.14

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{12}]$ をたし算します。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{12})}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.15

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{12}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{12}]$ です。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} - \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{12})}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.16

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.16.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + 1 (\frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot \frac{d}{d x} (x^{12})}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.16.2

$\frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{12})}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.17

$n = 12$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (12 x^{11})}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.18

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.18.1

$12$ と $\frac{x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x^{11}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.18.2

$\frac{12 x^{5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x^{11}$ をまとめます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{5} x^{11}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.19

指数を足して $x^{5}$ に $x^{11}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.19.1

$x^{11}$ を移動させます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 (x^{11} x^{5})}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.19.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{11 + 5}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.19.3

$11$ と $5$ をたし算します。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{12 x^{16}}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.20

$2$ を $12 x^{16}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2 (6 x^{16})}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.21

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.21.1

$2$ を $2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2 (6 x^{16})}{2 ({(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}})}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.21.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{2 (6 x^{16})}{2 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.21.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 {(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}} x^{4} + \frac{6 x^{16}}{{(1 - x^{12})}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.22

$1$ と $- x^{12}$ を並べ替えます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.23

$5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.24

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.25

指数を足して ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.25.1

${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} ({(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.25.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.25.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.25.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{\frac{2}{2}} + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.25.5

$2$ を $2$ で割ります。

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.26

$5 x^{4} {(- x^{12} + 1)}^{1}$ を簡約します。

$f'' (x) = - 18 \frac{\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$

ステップ 3.27

$\frac{\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1 - x^{12}}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = - 18 (\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{1 - x^{12}})$

ステップ 3.28

$\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{1 - x^{12}}$ をかけます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} (1 - x^{12})}$

ステップ 3.29

項を並べ替えます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x^{12} + 1)}$

ステップ 3.30

指数を足して ${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $- x^{12} + 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.30.1

${(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に $- x^{12} + 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.30.1.1

$- x^{12} + 1$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- x^{12} + 1)}$

ステップ 3.30.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 3.30.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 3.30.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 3.30.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = - 18 \frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.31

$- 18$ と $\frac{5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 18 (5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.32

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{4} (- x^{12} + 1) + 6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.33

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.33.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{4} (- x^{12}) + 5 x^{4} \cdot 1 + 6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.33.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{4} (- x^{12})) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.33.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.33.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.33.3.1.1

指数を足して $x^{4}$ に $x^{12}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.33.3.1.1.1

$x^{12}$ を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{18 (5 (x^{12} x^{4}) \cdot - 1) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.33.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{12 + 4} \cdot - 1) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.33.3.1.1.3

$12$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{18 (5 x^{16} \cdot - 1) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.33.3.1.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{18 (- 5 x^{16}) + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.33.3.1.3

$- 5$ に $18$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 18 (5 x^{4} \cdot 1) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.33.3.1.4

$5$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 18 (5 x^{4}) + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.33.3.1.5

$5$ に $18$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 90 x^{4} + 18 (6 x^{16})}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.33.3.1.6

$6$ に $18$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{- 90 x^{16} + 90 x^{4} + 108 x^{16}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.33.3.2

$- 90 x^{16}$ と $108 x^{16}$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{18 x^{16} + 90 x^{4}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.33.4

$18 x^{4}$ を $18 x^{16} + 90 x^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.33.4.1

$18 x^{4}$ を $18 x^{16}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{18 x^{4} (x^{12}) + 90 x^{4}}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.33.4.2

$18 x^{4}$ を $90 x^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{18 x^{4} (x^{12}) + 18 x^{4} (5)}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.33.4.3

$18 x^{4}$ を $18 x^{4} (x^{12}) + 18 x^{4} (5)$ で因数分解します。

$f'' (x) = - \frac{18 x^{4} (x^{12} + 5)}{{(- x^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}} = 0$

ステップ 5

分子を0に等しくします。

$18 x^{5} = 0$

ステップ 6

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$18 x^{5} = 0$ の各項を $18$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

$18 x^{5} = 0$ の各項を $18$ で割ります。

$\frac{18 x^{5}}{18} = \frac{0}{18}$

ステップ 6.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

$18$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{18 x^{5}}{18} = \frac{0}{18}$

ステップ 6.1.2.1.2

$x^{5}$ を $1$ で割ります。

$x^{5} = \frac{0}{18}$

ステップ 6.1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.3.1

$0$ を $18$ で割ります。

$x^{5} = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[5]{0}$

ステップ 6.3

$\sqrt[5]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$0$ を $0^{5}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

ステップ 6.3.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 7

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{18 {(0)}^{4} ({(0)}^{12} + 5)}{{(- {(0)}^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{18 \cdot 0^{4} (0 + 5)}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.1.2

$0$ と $5$ をたし算します。

$- \frac{18 \cdot 0^{4} \cdot 5}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.1.3

$5$ に $18$ をかけます。

$- \frac{90 \cdot 0^{4}}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{90 \cdot 0}{{(- 0^{12} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{90 \cdot 0}{{(- 0 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.2.1.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- \frac{90 \cdot 0}{{(0 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{90 \cdot 0}{1^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 8.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{90 \cdot 0}{1}$

ステップ 8.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$90$ に $0$ をかけます。

$- \frac{0}{1}$

ステップ 8.3.2

$0$ を $1$ で割ります。

$- 0$

ステップ 8.3.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 9

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 9.2

一次導関数 $- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ の区間 $(- \infty, 0)$ から $- 0.5$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

式の変数 $x$ を $- 0.5$ で置換えます。

$f' (- 0.5) = - \frac{18 {(- 0.5)}^{5}}{\sqrt{1 - {(- 0.5)}^{12}}}$

ステップ 9.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$- 0.5$ を $5$ 乗します。

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{1 - {(- 0.5)}^{12}}}$

ステップ 9.2.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.2.1

$- 0.5$ を $12$ 乗します。

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{1 - 1 \cdot 0.00024414}}$

ステップ 9.2.2.2.2

$- 1$ に $0.00024414$ をかけます。

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{1 - 0.00024414}}$

ステップ 9.2.2.2.3

$1$ から $0.00024414$ を引きます。

$f' (- 0.5) = - \frac{18 \cdot - 0.03125}{\sqrt{0.99975585}}$

ステップ 9.2.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.3.1

$18$ に $- 0.03125$ をかけます。

$f' (- 0.5) = - \frac{- 0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$

ステップ 9.2.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$

ステップ 9.2.2.4

$\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ に $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ をかけます。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}} \cdot \frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$

ステップ 9.2.2.5

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.5.1

$\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ に $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ をかけます。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

ステップ 9.2.2.5.2

$\sqrt{0.99975585}$ を $1$ 乗します。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

ステップ 9.2.2.5.3

$\sqrt{0.99975585}$ を $1$ 乗します。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

ステップ 9.2.2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.2.2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{2}}$

ステップ 9.2.2.5.6

${\sqrt{0.99975585}}^{2}$ を $0.99975585$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{0.99975585}$ を ${0.99975585}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{({0.99975585}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.2.2.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.2.2.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.2.2.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.2.2.5.6.4.2

式を書き換えます。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

ステップ 9.2.2.5.6.5

指数を求めます。

$f' (- 0.5) = \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

ステップ 9.2.2.6

$0.5625$ に $\sqrt{0.99975585}$ をかけます。

$f' (- 0.5) = \frac{0.56243133}{0.99975585}$

ステップ 9.2.2.7

$0.56243133$ を $0.99975585$ で割ります。

$f' (- 0.5) = - (- 1 \cdot 0.56256867)$

ステップ 9.2.2.8

$- (- 1 \cdot 0.56256867)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.8.1

$- 1$ に $0.56256867$ をかけます。

$f' (- 0.5) = 0.56256867$

ステップ 9.2.2.8.2

$- 1$ に $- 0.56256867$ をかけます。

$f' (- 0.5) = 0.56256867$

ステップ 9.2.2.9

最終的な答えは $0.56256867$ です。

$0.56256867$

ステップ 9.3

一次導関数 $- \frac{18 x^{5}}{\sqrt{1 - x^{12}}}$ の区間 $(0, \infty)$ から $0.5$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

式の変数 $x$ を $0.5$ で置換えます。

$f' (0.5) = - \frac{18 {(0.5)}^{5}}{\sqrt{1 - {(0.5)}^{12}}}$

ステップ 9.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.1

$0.5$ を $5$ 乗します。

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{1 - {0.5}^{12}}}$

ステップ 9.3.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.2.1

$0.5$ を $12$ 乗します。

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{1 - 1 \cdot 0.00024414}}$

ステップ 9.3.2.2.2

$- 1$ に $0.00024414$ をかけます。

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{1 - 0.00024414}}$

ステップ 9.3.2.2.3

$1$ から $0.00024414$ を引きます。

$f' (0.5) = - \frac{18 \cdot 0.03125}{\sqrt{0.99975585}}$

ステップ 9.3.2.3

$18$ に $0.03125$ をかけます。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$

ステップ 9.3.2.4

$\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ に $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ をかけます。

$f' (0.5) = - (\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}} \cdot \frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}})$

ステップ 9.3.2.5

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.5.1

$\frac{0.5625}{\sqrt{0.99975585}}$ に $\frac{\sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585}}$ をかけます。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

ステップ 9.3.2.5.2

$\sqrt{0.99975585}$ を $1$ 乗します。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

ステップ 9.3.2.5.3

$\sqrt{0.99975585}$ を $1$ 乗します。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{\sqrt{0.99975585} \sqrt{0.99975585}}$

ステップ 9.3.2.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{1 + 1}}$

ステップ 9.3.2.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{\sqrt{0.99975585}}^{2}}$

ステップ 9.3.2.5.6

${\sqrt{0.99975585}}^{2}$ を $0.99975585$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{0.99975585}$ を ${0.99975585}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{({0.99975585}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 9.3.2.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 9.3.2.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.2.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{{0.99975585}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 9.3.2.5.6.4.2

式を書き換えます。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

ステップ 9.3.2.5.6.5

指数を求めます。

$f' (0.5) = - \frac{0.5625 \sqrt{0.99975585}}{0.99975585}$

ステップ 9.3.2.6

$0.5625$ に $\sqrt{0.99975585}$ をかけます。

$f' (0.5) = - \frac{0.56243133}{0.99975585}$

ステップ 9.3.2.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.2.7.1

$0.56243133$ を $0.99975585$ で割ります。

$f' (0.5) = - 1 \cdot 0.56256867$

ステップ 9.3.2.7.2

$- 1$ に $0.56256867$ をかけます。

$f' (0.5) = - 0.56256867$

ステップ 9.3.2.8

最終的な答えは $- 0.56256867$ です。

$- 0.56256867$

ステップ 9.4

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = 0$ は極大値です。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例