微分積分例

$y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

ステップ 1

$y = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ を関数で書きます。

$f (x) = - 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $- 13 \cos (h (x)) + 12 \sin (h (x))$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 13 \cos (h (x))]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 13$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 13 \cos (h x)$ の微分係数は $- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ です。

$- 13 \frac{d}{d x} [\cos (h x)] + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

ステップ 2.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = h x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $h x$ とします。

$- 13 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

ステップ 2.2.2.2

$u_{1}$ に関する $\cos (u_{1})$ の微分係数は $- \sin (u_{1})$ です。

$- 13 (- \sin (h x) \frac{d}{d x} [h x]) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

ステップ 2.2.3

$h$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $h x$ の微分係数は $h \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 13 (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

ステップ 2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 13 (- \sin (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

ステップ 2.2.5

$h$ に $1$ をかけます。

$- 13 (- \sin (h x) h) + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

ステップ 2.2.6

$- 1$ に $- 13$ をかけます。

$13 \sin (h x) h + \frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [12 \sin (h (x))]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 \sin (h x)$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ です。

$13 \sin (h x) h + 12 \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$

ステップ 2.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = h x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $h x$ とします。

$13 \sin (h x) h + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [h x])$

ステップ 2.3.2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x])$

ステップ 2.3.3

$h$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $h x$ の微分係数は $h \frac{d}{d x} [x]$ です。

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$13 \sin (h x) h + 12 (\cos (h x) (h \cdot 1))$

ステップ 2.3.5

$h$ に $1$ をかけます。

$13 \sin (h x) h + 12 \cos (h x) h$

ステップ 2.4

項を並べ替えます。

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)] + \frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (13 h \sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [13 h \sin (h x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$13 h$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $13 h \sin (h x)$ の微分係数は $13 h \frac{d}{d x} [\sin (h x)]$ です。

$f'' (x) = 13 h \frac{d}{d x} (\sin (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

ステップ 3.2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = h x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $h x$ とします。

$f'' (x) = 13 h (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

ステップ 3.2.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$f'' (x) = 13 h (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

ステップ 3.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $h x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) \frac{d}{d x} (h x)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

ステップ 3.2.3

$h$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $h x$ の微分係数は $h \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) (h \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

ステップ 3.2.5

$h$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 13 h (\cos (h x) h) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

ステップ 3.2.6

$h$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

ステップ 3.2.7

$h$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 13 (h \cdot h) \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

ステップ 3.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 13 h^{1 + 1} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

ステップ 3.2.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + \frac{d}{d x} (12 h \cos (h x))$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [12 h \cos (h x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$12 h$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 h \cos (h x)$ の微分係数は $12 h \frac{d}{d x} [\cos (h x)]$ です。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h \frac{d}{d x} (\cos (h x))$

ステップ 3.3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = h x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $h x$ とします。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (h x))$

ステップ 3.3.2.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (h x))$

ステップ 3.3.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $h x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) \frac{d}{d x} (h x))$

ステップ 3.3.3

$h$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $h x$ の微分係数は $h \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) (h \cdot 1))$

ステップ 3.3.5

$h$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) + 12 h (- \sin (h x) h)$

ステップ 3.3.6

$- 1$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h (\sin (h x) h)$

ステップ 3.3.7

$h$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

ステップ 3.3.8

$h$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 (h \cdot h) \sin (h x)$

ステップ 3.3.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{1 + 1} \sin (h x)$

ステップ 3.3.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 13 h^{2} \cos (h x) - 12 h^{2} \sin (h x)$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$13 h \sin (h x) + 12 h \cos (h x) = 0$

ステップ 5

方程式の各項を $\cos (h x)$ で割ります。

$\frac{13 h \sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

ステップ 6

分数を分解します。

$\frac{13 h}{1} \cdot \frac{\sin (h x)}{\cos (h x)} + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

ステップ 7

$\frac{\sin (h x)}{\cos (h x)}$ を $\tan (h x)$ に変換します。

$\frac{13 h}{1} \cdot \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

ステップ 8

$13 h$ を $1$ で割ります。

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

ステップ 9

$\cos (h x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

共通因数を約分します。

$13 h \tan (h x) + \frac{12 h \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{0}{\cos (h x)}$

ステップ 9.2

$12 h$ を $1$ で割ります。

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{\cos (h x)}$

ステップ 10

分数を分解します。

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (h x)}$

ステップ 11

$\frac{1}{\cos (h x)}$ を $\sec (h x)$ に変換します。

$13 h \tan (h x) + 12 h = \frac{0}{1} \cdot \sec (h x)$

ステップ 12

$0$ を $1$ で割ります。

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0 \sec (h x)$

ステップ 13

$0$ に $\sec (h x)$ をかけます。

$13 h \tan (h x) + 12 h = 0$

ステップ 14

方程式の両辺から $12 h$ を引きます。

$13 h \tan (h x) = - 12 h$

ステップ 15

$13 h \tan (h x) = - 12 h$ の各項を $13 h$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

$13 h \tan (h x) = - 12 h$ の各項を $13 h$ で割ります。

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

ステップ 15.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

$13$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{13 h \tan (h x)}{13 h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

ステップ 15.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

ステップ 15.2.2

$h$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{h \tan (h x)}{h} = \frac{- 12 h}{13 h}$

ステップ 15.2.2.2

$\tan (h x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

ステップ 15.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.3.1

$h$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.3.1.1

共通因数を約分します。

$\tan (h x) = \frac{- 12 h}{13 h}$

ステップ 15.3.1.2

式を書き換えます。

$\tan (h x) = \frac{- 12}{13}$

ステップ 15.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\tan (h x) = - \frac{12}{13}$

ステップ 16

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$h x = \arctan (- \frac{12}{13})$

ステップ 17

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$\arctan (- \frac{12}{13})$ の値を求めます。

$h x = - 0.74541947$

ステップ 18

$h x = - 0.74541947$ の各項を $h$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.1

$h x = - 0.74541947$ の各項を $h$ で割ります。

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

ステップ 18.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{h x}{h} = \frac{- 0.74541947}{h}$

ステップ 18.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 0.74541947}{h}$

ステップ 18.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 18.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{0.74541947}{h}$

ステップ 19

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265)$

ステップ 20

$2 π$ に $- 0.74541947 - (3.14159265)$ をたし算します。

$h x = - 0.74541947 - (3.14159265) + 2 π$

ステップ 21

$2.39617317$ の結果の角度は正で $- 0.74541947 - (3.14159265)$ と隣接します。

$h x = 2.39617317$

ステップ 22

$h x = 2.39617317$ の各項を $h$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.1

$h x = 2.39617317$ の各項を $h$ で割ります。

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

ステップ 22.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 22.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{h x}{h} = \frac{2.39617317}{h}$

ステップ 22.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2.39617317}{h}$

ステップ 23

$x = \frac{2.39617317}{h}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$13 h^{2} \cos (h (\frac{2.39617317}{h})) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

ステップ 24

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1

$h$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.1.1

共通因数を約分します。

$13 h^{2} \cos (h \frac{2.39617317}{h}) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

ステップ 24.1.2

式を書き換えます。

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h (\frac{2.39617317}{h}))$

ステップ 24.2

$h$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 24.2.1

共通因数を約分します。

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (h \frac{2.39617317}{h})$

ステップ 24.2.2

式を書き換えます。

$13 h^{2} \cos (2.39617317) - 12 h^{2} \sin (2.39617317)$

ステップ 25

一次導関数検定ができなかったので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 26

微分積分 例

微分積分例