微分積分例

$y = x e^{\frac{1}{x}}$

ステップ 1

$y = x e^{\frac{1}{x}}$ を関数で書きます。

$f (x) = x e^{\frac{1}{x}}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{\frac{1}{x}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}] + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.4

$x$ を $1$ 乗します。

$x^{- 2} x^{1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{- 2 + 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$x^{- 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.6.2

$- 1$ を $e^{\frac{1}{x}}$ の左に移動させます。

$x^{- 1} (- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.6.3

$- 1 e^{\frac{1}{x}}$ を $- e^{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1$

ステップ 2.8

$e^{\frac{1}{x}}$ に $1$ をかけます。

$x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

ステップ 2.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{x} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

ステップ 2.9.2

$\frac{1}{x}$ と $e^{\frac{1}{x}}$ をまとめます。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}] + \frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

ステップ 3.2.2

$f (x) = e^{\frac{1}{x}}$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{x \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

ステップ 3.2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$f'' (x) = - \frac{x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

ステップ 3.2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

ステップ 3.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

ステップ 3.2.4

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x^{- 1})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

ステップ 3.2.5

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} x}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

ステップ 3.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

ステップ 3.2.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - \frac{x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

ステップ 3.2.8

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - \frac{x^{- 2} x (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

ステップ 3.2.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - \frac{x^{- 2 + 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

ステップ 3.2.10

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

ステップ 3.2.11

$- 1$ を $e^{\frac{1}{x}}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

ステップ 3.2.12

$- 1 e^{\frac{1}{x}}$ を $- e^{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

ステップ 3.2.13

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

ステップ 3.2.14

$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ に $0$ をかけます。

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + 0 + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

ステップ 3.2.15

$- \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}})$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

ステップ 3.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

ステップ 3.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

ステップ 3.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{1}{x} \cdot (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})$

ステップ 3.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{\frac{1}{x} \cdot (- e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.4.3

項をまとめます。

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ステップ 3.4.3.1

$\frac{1}{x}$ と $e^{\frac{1}{x}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} + e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x^{2}})$

ステップ 3.4.3.2

$e^{\frac{1}{x}}$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = - \frac{- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

ステップ 3.4.3.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- (- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}) - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

ステップ 3.4.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

ステップ 3.4.4.2

$- - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{1 (\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}) + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

ステップ 3.4.4.2.2

$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

ステップ 3.4.4.3

$- - e^{\frac{1}{x}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

ステップ 3.4.4.3.2

$e^{\frac{1}{x}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

ステップ 3.4.4.4

$e^{\frac{1}{x}}$ から $e^{\frac{1}{x}}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 0}{x^{2}}$

ステップ 3.4.4.5

$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}}{x^{2}}$

ステップ 3.4.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 3.4.6

まとめる。

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x \cdot x^{2}}$

ステップ 3.4.7

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.7.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x \cdot x^{2}}$

ステップ 3.4.7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{1 + 2}}$

ステップ 3.4.7.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} \cdot 1}{x^{3}}$

ステップ 3.4.8

$e^{\frac{1}{x}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

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ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 5.1.1

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$f' (x) = x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = x (e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x^{- 1})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (e^{\frac{1}{x}} (- x^{- 2})) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = x^{- 2} x (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = x^{- 2 + 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.6

式を簡約します。

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ステップ 5.1.6.1

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = x^{- 1} (e^{\frac{1}{x}} \cdot (- 1)) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.6.2

$- 1$ を $e^{\frac{1}{x}}$ の左に移動させます。

$f' (x) = x^{- 1} (- 1 \cdot e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.6.3

$- 1 e^{\frac{1}{x}}$ を $- e^{\frac{1}{x}}$ に書き換えます。

$f' (x) = x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 5.1.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1$

ステップ 5.1.8

$e^{\frac{1}{x}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x^{- 1} (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

ステップ 5.1.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.9.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{x} \cdot (- e^{\frac{1}{x}}) + e^{\frac{1}{x}}$

ステップ 5.1.9.2

$\frac{1}{x}$ と $e^{\frac{1}{x}}$ をまとめます。

$f' (x) = - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$ です。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} = 0$

ステップ 6.2

$e^{\frac{1}{x}}$ を $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$e^{\frac{1}{x}}$ を $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$ で因数分解します。

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x}) + e^{\frac{1}{x}} = 0$

ステップ 6.2.2

$1$ を掛けます。

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1 = 0$

ステップ 6.2.3

$e^{\frac{1}{x}}$ を $e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x}) + e^{\frac{1}{x}} \cdot 1$ で因数分解します。

$e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x} + 1) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{\frac{1}{x}} = 0$

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

ステップ 6.4

$e^{\frac{1}{x}}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.4.1

$e^{\frac{1}{x}}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{\frac{1}{x}} = 0$

ステップ 6.4.2

$x$ について $e^{\frac{1}{x}} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{\frac{1}{x}}) = \ln (0)$

ステップ 6.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 6.4.2.3

$e^{\frac{1}{x}} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 6.5

$- \frac{1}{x} + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.5.1

$- \frac{1}{x} + 1$ が $0$ に等しいとします。

$- \frac{1}{x} + 1 = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ について $- \frac{1}{x} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \frac{1}{x} = - 1$

ステップ 6.5.2.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 6.5.2.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x, 1$

ステップ 6.5.2.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 6.5.2.3

$- \frac{1}{x} = - 1$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 6.5.2.3.1

$- \frac{1}{x} = - 1$ の各項に $x$ を掛けます。

$- \frac{1}{x} x = - x$

ステップ 6.5.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.5.2.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.2.3.2.1.1

$- \frac{1}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{x} x = - x$

ステップ 6.5.2.3.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{x} x = - x$

ステップ 6.5.2.3.2.1.3

式を書き換えます。

$- 1 = - x$

ステップ 6.5.2.4

方程式を解きます。

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ステップ 6.5.2.4.1

方程式を $- x = - 1$ として書き換えます。

$- x = - 1$

ステップ 6.5.2.4.2

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.5.2.4.2.1

$- x = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.5.2.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.5.2.4.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.5.2.4.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.5.2.4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.5.2.4.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 6.6

最終解は $e^{\frac{1}{x}} (- \frac{1}{x} + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 7.1

$\frac{1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 1$

ステップ 9

$x = 1$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$\frac{e^{\frac{1}{1}}}{{(1)}^{3}}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 10.1

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\frac{1}{1}}}{{(1)}^{3}}$

ステップ 10.1.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{1}}{{(1)}^{3}}$

ステップ 10.2

簡約します。

$\frac{e}{1^{3}}$

ステップ 10.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{e}{1}$

ステップ 10.4

$e$ を $1$ で割ります。

$e$

ステップ 11

$x = 1$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 1$ は極小値です

ステップ 12

$x = 1$ のときy値を求めます。

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ステップ 12.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = (1) \cdot e^{\frac{1}{1}}$

ステップ 12.2

結果を簡約します。

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ステップ 12.2.1

$e^{\frac{1}{1}}$ に $1$ をかけます。

$f (1) = e^{\frac{1}{1}}$

ステップ 12.2.2

$1$ を $1$ で割ります。

$f (1) = e$

ステップ 12.2.3

最終的な答えは $e$ です。

$y = e$

ステップ 13

$f (x) = x e^{\frac{1}{x}}$ の極値です。

$(1, e)$ は極小値です

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例