微分積分例

$y = 5 (1 - e^{- 2 x})$

ステップ 1

$y = 5 (1 - e^{- 2 x})$ を関数で書きます。

$f (x) = 5 (1 - e^{- 2 x})$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 (1 - e^{- 2 x})$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [1 - e^{- 2 x}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [1 - e^{- 2 x}]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $1 - e^{- 2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ です。

$5 (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}])$

ステップ 2.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$5 (0 + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}])$

ステップ 2.1.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ をたし算します。

$5 \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

ステップ 2.1.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- e^{- 2 x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ です。

$5 (- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}])$

ステップ 2.1.6

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

ステップ 2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 x$ とします。

$- 5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 5 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$- 5 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 5 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.2

$- 2$ に $- 5$ をかけます。

$10 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$10 e^{- 2 x} \cdot 1$

ステップ 2.3.4

$10$ に $1$ をかけます。

$10 e^{- 2 x}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 e^{- 2 x}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ です。

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (e^{- 2 x})$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 x$ とします。

$f'' (x) = 10 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 2 x))$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 10 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 10 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} (- 2 x))$

ステップ 3.3

微分します。

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ステップ 3.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 10 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} x)$

ステップ 3.3.2

$- 2$ に $10$ をかけます。

$f'' (x) = - 20 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} x$

ステップ 3.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 20 e^{- 2 x} \cdot 1$

ステップ 3.3.4

$- 20$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 20 e^{- 2 x}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$10 e^{- 2 x} = 0$

ステップ 5

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 6

極値がありません

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例