微分積分例

$y = 5 x^{5} - 75 x^{3}$

ステップ 1

$y = 5 x^{5} - 75 x^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = 5 x^{5} - 75 x^{3}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $5 x^{5} - 75 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 75 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 75 x^{3}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{5}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 75 x^{3}]$

ステップ 2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 75 x^{3}]$

ステップ 2.2.3

$5$ に $5$ をかけます。

$25 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 75 x^{3}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 75 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 75$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 75 x^{3}$ の微分係数は $- 75 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$25 x^{4} - 75 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$25 x^{4} - 75 (3 x^{2})$

ステップ 2.3.3

$3$ に $- 75$ をかけます。

$25 x^{4} - 225 x^{2}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $25 x^{4} - 225 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [25 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 225 x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (25 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 225 x^{2})$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [25 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$25$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $25 x^{4}$ の微分係数は $25 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = 25 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 225 x^{2})$

ステップ 3.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 25 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 225 x^{2})$

ステップ 3.2.3

$4$ に $25$ をかけます。

$f'' (x) = 100 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 225 x^{2})$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- 225 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 225$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 225 x^{2}$ の微分係数は $- 225 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 100 x^{3} - 225 \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 100 x^{3} - 225 (2 x)$

ステップ 3.3.3

$2$ に $- 225$ をかけます。

$f'' (x) = 100 x^{3} - 450 x$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$25 x^{4} - 225 x^{2} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

総和則では、 $5 x^{5} - 75 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 75 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 75 x^{3}]$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{5}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 75 x^{3}]$

ステップ 5.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 75 x^{3}]$

ステップ 5.1.2.3

$5$ に $5$ をかけます。

$25 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 75 x^{3}]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [- 75 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$- 75$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 75 x^{3}$ の微分係数は $- 75 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$25 x^{4} - 75 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$25 x^{4} - 75 (3 x^{2})$

ステップ 5.1.3.3

$3$ に $- 75$ をかけます。

$f' (x) = 25 x^{4} - 225 x^{2}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $25 x^{4} - 225 x^{2}$ です。

$25 x^{4} - 225 x^{2}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $25 x^{4} - 225 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$25 x^{4} - 225 x^{2} = 0$

ステップ 6.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.2.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$25 {(x^{2})}^{2} - 225 x^{2} = 0$

ステップ 6.2.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$25 u^{2} - 225 u = 0$

ステップ 6.2.3

$25 u$ を $25 u^{2} - 225 u$ で因数分解します。

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ステップ 6.2.3.1

$25 u$ を $25 u^{2}$ で因数分解します。

$25 u (u) - 225 u = 0$

ステップ 6.2.3.2

$25 u$ を $- 225 u$ で因数分解します。

$25 u (u) + 25 u (- 9) = 0$

ステップ 6.2.3.3

$25 u$ を $25 u (u) + 25 u (- 9)$ で因数分解します。

$25 u (u - 9) = 0$

ステップ 6.2.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$25 x^{2} (x^{2} - 9) = 0$

ステップ 6.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 9 = 0$

ステップ 6.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 6.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 6.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 6.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 6.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 6.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6.5

$x^{2} - 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

$x^{2} - 9$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 9 = 0$

ステップ 6.5.2

$x$ について $x^{2} - 9 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x^{2} = 9$

ステップ 6.5.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{9}$

ステップ 6.5.2.3

$\pm \sqrt{9}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

ステップ 6.5.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 3$

ステップ 6.5.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3$

ステップ 6.5.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3$

ステップ 6.5.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3, - 3$

ステップ 6.6

最終解は $25 x^{2} (x^{2} - 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3, - 3$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 0, 3, - 3$

ステップ 9

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$100 {(0)}^{3} - 450 \cdot 0$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$100 \cdot 0 - 450 \cdot 0$

ステップ 10.1.2

$100$ に $0$ をかけます。

$0 - 450 \cdot 0$

ステップ 10.1.3

$- 450$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 10.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 11

$0$ をもつ点が1点以上または未定義の二次導関数があるので、一次導関数検定を当てはめます。

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ステップ 11.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 11.2

一次導関数 $25 x^{4} - 225 x^{2}$ の区間 $(- \infty, - 3)$ から $- 6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f' (- 6) = 25 {(- 6)}^{4} - 225 {(- 6)}^{2}$

ステップ 11.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1.1

$- 6$ を $4$ 乗します。

$f' (- 6) = 25 \cdot 1296 - 225 {(- 6)}^{2}$

ステップ 11.2.2.1.2

$25$ に $1296$ をかけます。

$f' (- 6) = 32400 - 225 {(- 6)}^{2}$

ステップ 11.2.2.1.3

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f' (- 6) = 32400 - 225 \cdot 36$

ステップ 11.2.2.1.4

$- 225$ に $36$ をかけます。

$f' (- 6) = 32400 - 8100$

ステップ 11.2.2.2

$32400$ から $8100$ を引きます。

$f' (- 6) = 24300$

ステップ 11.2.2.3

最終的な答えは $24300$ です。

$24300$

ステップ 11.3

一次導関数 $25 x^{4} - 225 x^{2}$ の区間 $(- 3, 0)$ から $- 2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = 25 {(- 2)}^{4} - 225 {(- 2)}^{2}$

ステップ 11.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.3.2.1.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f' (- 2) = 25 \cdot 16 - 225 {(- 2)}^{2}$

ステップ 11.3.2.1.2

$25$ に $16$ をかけます。

$f' (- 2) = 400 - 225 {(- 2)}^{2}$

ステップ 11.3.2.1.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = 400 - 225 \cdot 4$

ステップ 11.3.2.1.4

$- 225$ に $4$ をかけます。

$f' (- 2) = 400 - 900$

ステップ 11.3.2.2

$400$ から $900$ を引きます。

$f' (- 2) = - 500$

ステップ 11.3.2.3

最終的な答えは $- 500$ です。

$- 500$

ステップ 11.4

一次導関数 $25 x^{4} - 225 x^{2}$ の区間 $(0, 3)$ から $2$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = 25 {(2)}^{4} - 225 {(2)}^{2}$

ステップ 11.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.4.2.1.1

$2$ を $4$ 乗します。

$f' (2) = 25 \cdot 16 - 225 {(2)}^{2}$

ステップ 11.4.2.1.2

$25$ に $16$ をかけます。

$f' (2) = 400 - 225 {(2)}^{2}$

ステップ 11.4.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = 400 - 225 \cdot 4$

ステップ 11.4.2.1.4

$- 225$ に $4$ をかけます。

$f' (2) = 400 - 900$

ステップ 11.4.2.2

$400$ から $900$ を引きます。

$f' (2) = - 500$

ステップ 11.4.2.3

最終的な答えは $- 500$ です。

$- 500$

ステップ 11.5

一次導関数 $25 x^{4} - 225 x^{2}$ の区間 $(3, \infty)$ から $6$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f' (6) = 25 {(6)}^{4} - 225 {(6)}^{2}$

ステップ 11.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.5.2.1.1

$6$ を $4$ 乗します。

$f' (6) = 25 \cdot 1296 - 225 {(6)}^{2}$

ステップ 11.5.2.1.2

$25$ に $1296$ をかけます。

$f' (6) = 32400 - 225 {(6)}^{2}$

ステップ 11.5.2.1.3

$6$ を $2$ 乗します。

$f' (6) = 32400 - 225 \cdot 36$

ステップ 11.5.2.1.4

$- 225$ に $36$ をかけます。

$f' (6) = 32400 - 8100$

ステップ 11.5.2.2

$32400$ から $8100$ を引きます。

$f' (6) = 24300$

ステップ 11.5.2.3

最終的な答えは $24300$ です。

$24300$

ステップ 11.6

$x = - 3$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = - 3$ は極大値です。

$x = - 3$ は極大値です

ステップ 11.7

$x = 0$ の周囲で一次導関数の符号が変化しなかったので、これは極大値または極小値ではありません。

極大値または極小値ではありません

ステップ 11.8

$x = 3$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 3$ は極小値です。

$x = 3$ は極小値です

ステップ 11.9

$f (x) = 5 x^{5} - 75 x^{3}$ の極値です。

$x = - 3$ は極大値です

$x = 3$ は極小値です

$x = - 3$ は極大値です

$x = 3$ は極小値です

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例