微分積分例

$y = \cos (x)$

ステップ 1

$y = \cos (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \cos (x)$

ステップ 2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$- \sin (x)$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x)$

ステップ 3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = - \cos (x)$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \sin (x) = 0$

ステップ 5

$- \sin (x) = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$- \sin (x) = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 5.2.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{0}{- 1}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$\sin (x) = 0$

ステップ 6

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 7

右辺を簡約します。

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ステップ 7.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 8

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 9

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 10

方程式 $x = 0$ に対する解です。

$x = 0, π$

ステップ 11

$x = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \cos (0)$

ステップ 12

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 12.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 12.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 13

$x = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 0$ は極大値です

ステップ 14

$x = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 14.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \cos (0)$

ステップ 14.2

結果を簡約します。

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ステップ 14.2.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (0) = 1$

ステップ 14.2.2

最終的な答えは $1$ です。

$y = 1$

ステップ 15

$x = π$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \cos (π)$

ステップ 16

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 16.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- - \cos (0)$

ステップ 16.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- (- 1 \cdot 1)$

ステップ 16.3

$- (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 16.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- - 1$

ステップ 16.3.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1$

ステップ 17

$x = π$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = π$ は極小値です

ステップ 18

$x = π$ のときy値を求めます。

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ステップ 18.1

式の変数 $x$ を $π$ で置換えます。

$f (π) = \cos (π)$

ステップ 18.2

結果を簡約します。

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ステップ 18.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (π) = - \cos (0)$

ステップ 18.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (π) = - 1 \cdot 1$

ステップ 18.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (π) = - 1$

ステップ 18.2.4

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 19

$f (x) = \cos (x)$ の極値です。

$(0, 1)$ は極大値です

$(π, - 1)$ は極小値です

ステップ 20

微分積分 例

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