微分積分例

$y = \cot (12 π x - 3 x)$

ステップ 1

$y = \cot (12 π x - 3 x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \cot (12 π x - 3 x)$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = 12 π x - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $12 π x - 3 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

ステップ 2.1.2

$u$ に関する $\cot (u)$ の微分係数は $- \csc^{2} (u)$ です。

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $12 π x - 3 x$ で置き換えます。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

ステップ 2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $12 π x - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 2.2.2

$12 π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 π x$ の微分係数は $12 π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 2.2.4

$12$ に $1$ をかけます。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 2.2.5

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \cdot 1)$

ステップ 2.2.7

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- (12 π - 3)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$ の微分係数は $- (12 π - 3) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (12 π x - 3 x)]$ です。

$f'' (x) = - (12 π - 3) \frac{d}{d x} \csc^{2} (12 π x - 3 x)$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \csc (12 π x - 3 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\csc (12 π x - 3 x)$ とします。

$f'' (x) = - (12 π - 3) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (12 π - 3) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

ステップ 3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\csc (12 π x - 3 x)$ で置き換えます。

$f'' (x) = - (12 π - 3) (2 \csc (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

ステップ 3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

ステップ 3.4

$f (x) = \csc (x)$ および $g (x) = 12 π x - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $12 π x - 3 x$ とします。

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d u (2)} (\csc (u_{2})) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

ステップ 3.4.2

$u_{2}$ に関する $\csc (u_{2})$ の微分係数は $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ です。

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

ステップ 3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $12 π x - 3 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (- \csc (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

ステップ 3.5

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (\csc (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

ステップ 3.6

$\csc (12 π x - 3 x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \csc (12 π x - 3 x)) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

ステップ 3.7

$\csc (12 π x - 3 x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \csc (12 π x - 3 x)) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

ステップ 3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) {\csc (12 π x - 3 x)}^{1 + 1} (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

ステップ 3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

ステップ 3.10

総和則では、 $12 π x - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d x} (12 π x) + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

ステップ 3.11

$12 π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 π x$ の微分係数は $12 π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

ステップ 3.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

ステップ 3.13

$12$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

ステップ 3.14

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \frac{d}{d x} x)$

ステップ 3.15

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \cdot 1)$

ステップ 3.16

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$

ステップ 3.17

$12 π - 3$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

ステップ 3.18

$12 π - 3$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

ステップ 3.19

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 2 {(12 π - 3)}^{1 + 1} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

ステップ 3.20

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 {(12 π - 3)}^{2} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

ステップ 3.21

$2 {(12 π - 3)}^{2} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (12 π x - 3 x) {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π x - 3 x)$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$

ステップ 5

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$ の各項を $- 12 π + 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$ の各項を $- 12 π + 3$ で割ります。

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)}{- 12 π + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$12 π - 3$ と $- 12 π + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$3$ を $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{- 12 π + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

ステップ 5.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.2.1

$3$ を $- 12 π$ で因数分解します。

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π) + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

ステップ 5.2.1.2.2

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π) + 3 (1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

ステップ 5.2.1.2.3

$3$ を $3 (- 4 π) + 3 (1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π + 1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

ステップ 5.2.1.2.4

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π + 1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

ステップ 5.2.1.2.5

式を書き換えます。

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1)}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

ステップ 5.2.2

$4 π - 1$ と $- 4 π + 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 1$ を $4 π$ で因数分解します。

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π) - 1)}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

ステップ 5.2.2.2

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π) - 1 (1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

ステップ 5.2.2.3

$- 1$ を $- (- 4 π) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

ステップ 5.2.2.4

$- (- 4 π + 1)$ を $- 1 (- 4 π + 1)$ に書き換えます。

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- 1 (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

ステップ 5.2.2.5

共通因数を約分します。

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- 1 (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

ステップ 5.2.2.6

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1$ を $1$ で割ります。

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1 = \frac{0}{- 12 π + 3}$

ステップ 5.2.3

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 12 π + 3}$

ステップ 5.2.3.2

$\csc^{2} (12 π x - 3 x)$ に $1$ をかけます。

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 12 π + 3}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$0$ と $- 12 π + 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{- 12 π + 3}$

ステップ 5.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.2.1

$3$ を $- 12 π$ で因数分解します。

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{3 (- 4 π) + 3}$

ステップ 5.3.1.2.2

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 \cdot 0}{3 (- 4 π) + 3 \cdot 1}$

ステップ 5.3.1.2.3

$3$ を $3 (- 4 π) + 3 (1)$ で因数分解します。

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{3 (- 4 π + 1)}$

ステップ 5.3.1.2.4

共通因数を約分します。

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 \cdot 0}{3 (- 4 π + 1)}$

ステップ 5.3.1.2.5

式を書き換えます。

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 4 π + 1}$

ステップ 5.3.2

$0$ を $- 4 π + 1$ で割ります。

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = 0$

ステップ 6

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm \sqrt{0}$

ステップ 7

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 7.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm 0$

ステップ 7.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$\csc (12 π x - 3 x) = 0$

ステップ 8

余割の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $0$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 9

$x =$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2 \csc^{2} (12 π - 3) {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$\csc (12 π - 3)$ の値を求めます。

$2 {(- 7.08616739)}^{2} {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

ステップ 10.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$- 7.08616739$ を $2$ 乗します。

$2 \cdot 50.21376836 {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

ステップ 10.2.2

$2$ に $50.21376836$ をかけます。

$100.42753672 {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

ステップ 10.2.3

${(12 π - 3)}^{2}$ を $(12 π - 3) (12 π - 3)$ に書き換えます。

$100.42753672 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

ステップ 10.3

分配法則（FOIL法）を使って $(12 π - 3) (12 π - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

分配則を当てはめます。

$100.42753672 (12 π (12 π - 3) - 3 (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

ステップ 10.3.2

分配則を当てはめます。

$100.42753672 (12 π (12 π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

ステップ 10.3.3

分配則を当てはめます。

$100.42753672 (12 π (12 π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

ステップ 10.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1.1

$12 π (12 π)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1.1.1

$12$ に $12$ をかけます。

$100.42753672 (144 π π + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

ステップ 10.4.1.1.2

$π$ を $1$ 乗します。

$100.42753672 (144 (π^{1} π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

ステップ 10.4.1.1.3

$π$ を $1$ 乗します。

$100.42753672 (144 (π^{1} π^{1}) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

ステップ 10.4.1.1.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$100.42753672 (144 π^{1 + 1} + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

ステップ 10.4.1.1.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$100.42753672 (144 π^{2} + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

ステップ 10.4.1.2

$- 3$ に $12$ をかけます。

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

ステップ 10.4.1.3

$12$ に $- 3$ をかけます。

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 36 π - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

ステップ 10.4.1.4

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 36 π + 9) \cot (12 π - 3)$

ステップ 10.4.2

$- 36 π$ から $36 π$ を引きます。

$100.42753672 (144 π^{2} - 72 π + 9) \cot (12 π - 3)$

ステップ 10.5

$100.42753672$ に $144 π^{2} - 72 π + 9$ をかけます。

$120917.6026078 \cot (12 π - 3)$

ステップ 10.6

$\cot (12 π - 3)$ の値を求めます。

$120917.6026078 \cdot 7.01525255$

ステップ 10.7

$120917.6026078$ に $7.01525255$ をかけます。

$848267.52020773$

ステップ 11

$x =$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x =$ は極小値です

ステップ 12

$f (x) = \cot (12 π x - 3 x)$ の極値です。

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例