微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $(1, 2)$

ステップ 1

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f (x)$ が $[1, 2]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 1.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 1.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 1.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[1, 2]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x)$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

ステップ 5.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x)$

ステップ 5.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$2$ および $1$ で $- x^{- 1}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

ステップ 7.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + 1)$

ステップ 7.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

ステップ 7.2.4

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 1 + 2}{2})$

ステップ 7.2.5

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{2})$

ステップ 8

$2$ から $1$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 9

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 9.2

式を書き換えます。

$A (x) = 1 \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 11

微分積分 例

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