微分積分例

$p (x) = \frac{- 1}{3} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} - 15 x - 4$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

和の法則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} - 15 x - 4]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $- \frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} - 15 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- \frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.4

$- 3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.5

$\frac{- 3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.6

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.6.1

$3$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.2.6.2.4

$- x^{2}$ を $1$ で割ります。

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- \frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{2}{3} x^{2}$ の微分係数は $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- x^{2} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{2} - \frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- x^{2} - 2 (\frac{2}{3}) x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.3.4

$- 2$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$- x^{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.3.5

$- 2$ に $2$ をかけます。

$- x^{2} + \frac{- 4}{3} x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.3.6

$\frac{- 4}{3}$ と $x$ をまとめます。

$- x^{2} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [- 15 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 15 x$ の微分係数は $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.4.3

$- 15$ に $1$ をかけます。

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.5.1

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 + 0$

ステップ 1.5.2

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15$ と $0$ をたし算します。

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$ です。

$p'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$p'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$p'' (x) = - (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$p'' (x) = - 2 x + \frac{d}{d x} (- \frac{4 x}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15)$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- \frac{4}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4 x}{3}$ の微分係数は $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 15)$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 15)$

ステップ 2.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} + \frac{d}{d x} (- 15)$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$- 15$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 15$ の微分係数は $0$ です。

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3} + 0$

ステップ 2.4.2

$- 2 x - \frac{4}{3}$ と $0$ をたし算します。

$p'' (x) = - 2 x - \frac{4}{3}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- x^{2} - \frac{4 x}{3} - 15 = 0$

ステップ 4

一次導関数が $0$ に等しくなる $x$ の値がないので、極値はありません。

極値がありません

ステップ 5

極値がありません

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例