微分積分例

$a' (t) = (\frac{15}{2}) \sqrt{t} + 3 e^{- t}$

ステップ 1

関数 $a (t)$ は、微分係数 $a' (t)$ の不定積分を求めることで求められます。

$a (t) = \int a' (t) d t$

ステップ 2

$\frac{15}{2}$ と $\sqrt{t}$ をまとめます。

$\int \frac{15 \sqrt{t}}{2} + 3 e^{- t} d t$

ステップ 3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int \frac{15 \sqrt{t}}{2} d t + \int 3 e^{- t} d t$

ステップ 4

$\frac{15}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $\frac{15}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{15}{2} \int \sqrt{t} d t + \int 3 e^{- t} d t$

ステップ 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{15}{2} \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int 3 e^{- t} d t$

ステップ 6

べき乗則では、 $t^{\frac{1}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int 3 e^{- t} d t$

ステップ 7

$3$ は $t$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + 3 \int e^{- t} d t$

ステップ 8

$u = - t$ とします。次に $d u = - d t$ すると、 $- d u = d t$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 8.1

$u = - t$ とします。 $\frac{d u}{d t}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$- t$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [- t]$

ステップ 8.1.2

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$- \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 8.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + 3 \int - e^{u} d u$

ステップ 9

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + 3 (- \int e^{u} d u)$

ステップ 10

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 3 \int e^{u} d u$

ステップ 11

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 3 (e^{u} + C)$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

簡約します。

$\frac{15}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

ステップ 12.2

簡約します。

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ステップ 12.2.1

$\frac{15}{2}$ に $\frac{2}{3}$ をかけます。

$\frac{15 \cdot 2}{2 \cdot 3} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

ステップ 12.2.2

$15$ に $2$ をかけます。

$\frac{30}{2 \cdot 3} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

ステップ 12.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{30}{6} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

ステップ 12.2.4

$30$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.4.1

$6$ を $30$ で因数分解します。

$\frac{6 \cdot 5}{6} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

ステップ 12.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.4.2.1

$6$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{6 \cdot 5}{6 (1)} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

ステップ 12.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 1} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

ステップ 12.2.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5}{1} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

ステップ 12.2.4.2.4

$5$ を $1$ で割ります。

$5 t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

ステップ 13

$u$ のすべての発生を $- t$ で置き換えます。

$5 t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{- t} + C$

ステップ 14

関数の微分係数の積分から導かれるならば関数 $a$ です。これは微積分の基本定理によって有効です。

$a (t) = 5 t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{- t} + C$

微分積分 例

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