微分積分例

$f (x) = \frac{- 2 x + 8 x^{3}}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$

ステップ 1

$\frac{- 2 x + 8 x^{3}}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 - x^{2} + 2 x^{4} = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$2 u^{2} - u + 2 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.3

$a = 2$ 、 $b = - 1$ 、および $c = 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 2.4.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.1.2.2

$- 8$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.1.3

$1$ から $16$ を引きます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.1.4

$- 15$ を $- 1 (15)$ に書き換えます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (15)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ に書き換えます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

ステップ 2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.5.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.5.1.2.2

$- 8$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.5.1.3

$1$ から $16$ を引きます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.5.1.4

$- 15$ を $- 1 (15)$ に書き換えます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (15)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ に書き換えます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

ステップ 2.5.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$u = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

ステップ 2.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.6.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 2.6.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.6.1.2.2

$- 8$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.6.1.3

$1$ から $16$ を引きます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.6.1.4

$- 15$ を $- 1 (15)$ に書き換えます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.6.1.5

$\sqrt{- 1 (15)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ に書き換えます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.6.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

ステップ 2.6.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$u = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

ステップ 2.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

ステップ 2.8

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

ステップ 2.9

$x$ について第1方程式を解きます。

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

ステップ 2.10

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15}}{4}}$

ステップ 2.10.2

$\pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15}}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 2.10.2.1

$\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.10.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 2.10.2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 2.10.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

ステップ 2.10.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.10.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

ステップ 2.10.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

ステップ 2.10.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

ステップ 2.11

$x$ について二次方程式を解きます。

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

ステップ 2.12

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.12.1

括弧を削除します。

$x^{2} = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

ステップ 2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15}}{4}}$

ステップ 2.12.3

$\pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15}}{4}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.3.1

$\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.12.3.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.3.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 2.12.3.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

ステップ 2.12.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

ステップ 2.12.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

ステップ 2.12.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

ステップ 2.13

$2 x^{4} - x^{2} + 2 = 0$ の解は $x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$ です。

$x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

ステップ 3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$[- 2.49057894, 2.49057894]$

集合の内包的記法：

${y | - 2.49057894 \leq y \leq 2.49057894}$

ステップ 5

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

値域： $[- 2.49057894, 2.49057894], {y | - 2.49057894 \leq y \leq 2.49057894}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例