微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$

Step 1

$\frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{3} + 64 = 0$

Step 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

方程式の両辺から $64$ を引きます。

$x^{3} = - 64$

方程式の両辺に $64$ を足します。

$x^{3} + 64 = 0$

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

$64$ を $4^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} + 4^{3} = 0$

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$4$ に $- 1$ をかけます。

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) = 0$

$4$ を $2$ 乗します。

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

$x^{2} - 4 x + 16$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

$x^{2} - 4 x + 16$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

$x$ について $x^{2} - 4 x + 16 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$a = 1$ 、 $b = - 4$ 、および $c = 16$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

$16$ から $64$ を引きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

$- 48$ を $- 1 (48)$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1 (48)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

$\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

$16$ から $64$ を引きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

$- 48$ を $- 1 (48)$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1 (48)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

$\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}$

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

$16$ から $64$ を引きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

$- 48$ を $- 1 (48)$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1 (48)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

$\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 2 - 2 i \sqrt{3}$

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

最終解は $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 4, 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Step 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq - 4}$

Step 4

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \in ℝ}$

Step 5

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty), {x | x \neq - 4}$

値域： $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Step 6

微分積分 例

微分積分例