微分積分例

$f (x) = x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46$

ステップ 1

方程式を $x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 = x$ として書き換えます。

$x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 = x$

ステップ 2

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 - x = 0$

ステップ 3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4

$a = 1$ 、 $b = - 8 x + 180$ 、および $c = x^{2} + 46 - x$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{- (- 8 x + 180) \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.2

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3

$- 1$ に $180$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.4

括弧を付けます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5

$u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ とします。 $u$ を $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.1

${(- 8 x + 180)}^{2}$ を $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ に書き換えます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5.2.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5.2.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.5.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5.3.1.3

$- 8$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5.3.1.4

$180$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5.3.1.5

$- 8$ に $180$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5.3.1.6

$180$ に $180$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.5.3.2

$- 1440 x$ から $1440 x$ を引きます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6

$4$ を $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

$4$ を $64 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.2

$4$ を $- 2880 x$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.3

$4$ を $32400$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.4

$4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.5

$4$ を $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.6

$4$ を $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.6.7

$4$ を $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.7

$u$ のすべての発生を $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ で置き換えます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.8.1.1

$x^{2} + 46 - x$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.8.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.8.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.8.1.3.1

$- 1$ に $46$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.8.1.3.2

$- - x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.8.1.3.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.8.1.3.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.8.2

$16 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.8.3

$- 720 x$ と $x$ をたし算します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.8.4

$8100$ から $46$ を引きます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.9

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.1.10

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

ステップ 5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

ステップ 6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3

$- 1$ に $180$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4

括弧を付けます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5

$u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ とします。 $u$ を $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.5.1

${(- 8 x + 180)}^{2}$ を $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ に書き換えます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.5.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5.2.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5.2.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.5.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5.3.1.3

$- 8$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5.3.1.4

$180$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5.3.1.5

$- 8$ に $180$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5.3.1.6

$180$ に $180$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5.3.2

$- 1440 x$ から $1440 x$ を引きます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6

$4$ を $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.6.1

$4$ を $64 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.2

$4$ を $- 2880 x$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.3

$4$ を $32400$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.4

$4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.5

$4$ を $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.6

$4$ を $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.6.7

$4$ を $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.7

$u$ のすべての発生を $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ で置き換えます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.8.1.1

$x^{2} + 46 - x$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.8.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.8.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.8.1.3.1

$- 1$ に $46$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.8.1.3.2

$- - x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.8.1.3.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.8.1.3.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.8.2

$16 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.8.3

$- 720 x$ と $x$ をたし算します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.8.4

$8100$ から $46$ を引きます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.9

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.10

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

ステップ 6.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{8 x - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

ステップ 6.4

$8 x - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$2$ を $8 x$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (4 x) - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

ステップ 6.4.2

$2$ を $- 180$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot - 90 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

ステップ 6.4.3

$2$ を $2 (4 x) + 2 (- 90)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

ステップ 6.4.4

$2$ を $2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 (\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

ステップ 6.4.5

$2$ を $2 (4 x - 90) + 2 (\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

ステップ 6.4.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.6.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 (1)}$

ステップ 6.4.6.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.4.6.3

式を書き換えます。

$y = \frac{4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{1}$

ステップ 6.4.6.4

$4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ を $1$ で割ります。

$y = 4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

ステップ 7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.2

$- 8$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.3

$- 1$ に $180$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.4

括弧を付けます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.5

$u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ とします。 $u$ を $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ に代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.5.1

${(- 8 x + 180)}^{2}$ を $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ に書き換えます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.5.2.1

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.5.2.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.5.2.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.5.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.5.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.5.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.5.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.5.3.1.3

$- 8$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.5.3.1.4

$180$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.5.3.1.5

$- 8$ に $180$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.5.3.1.6

$180$ に $180$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.5.3.2

$- 1440 x$ から $1440 x$ を引きます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6

$4$ を $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.6.1

$4$ を $64 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6.2

$4$ を $- 2880 x$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6.3

$4$ を $32400$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6.4

$4$ を $- 4 u$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6.5

$4$ を $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6.6

$4$ を $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.6.7

$4$ を $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ で因数分解します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.7

$u$ のすべての発生を $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ で置き換えます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.8.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.8.1.1

$x^{2} + 46 - x$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.8.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.8.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.8.1.3.1

$- 1$ に $46$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.8.1.3.2

$- - x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.8.1.3.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.8.1.3.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.8.2

$16 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.8.3

$- 720 x$ と $x$ をたし算します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.8.4

$8100$ から $46$ を引きます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.9

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.1.10

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

ステップ 7.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{8 x - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

ステップ 7.4

$8 x - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$2$ を $8 x$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (4 x) - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

ステップ 7.4.2

$2$ を $- 180$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot - 90 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

ステップ 7.4.3

$2$ を $2 (4 x) + 2 (- 90)$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (4 x - 90) - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

ステップ 7.4.4

$2$ を $- 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 (- \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

ステップ 7.4.5

$2$ を $2 (4 x - 90) + 2 (- \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

ステップ 7.4.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.6.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 (1)}$

ステップ 7.4.6.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.6.3

式を書き換えます。

$y = \frac{4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{1}$

ステップ 7.4.6.4

$4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ を $1$ で割ります。

$y = 4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

ステップ 8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = 4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

$y = 4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

ステップ 9

$\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$15 x^{2} - 719 x + 8054 \geq 0$

ステップ 10

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

不等式を方程式に変換します。

$15 x^{2} - 719 x + 8054 = 0$

ステップ 10.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 10.3

$a = 15$ 、 $b = - 719$ 、および $c = 8054$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{719 \pm \sqrt{{(- 719)}^{2} - 4 \cdot (15 \cdot 8054)}}{2 \cdot 15}$

ステップ 10.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1.1

$- 719$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

ステップ 10.4.1.2

$- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1.2.1

$- 4$ に $15$ をかけます。

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

ステップ 10.4.1.2.2

$- 60$ に $8054$ をかけます。

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

ステップ 10.4.1.3

$516961$ から $483240$ を引きます。

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

ステップ 10.4.2

$2$ に $15$ をかけます。

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

ステップ 10.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1.1

$- 719$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

ステップ 10.5.1.2

$- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1.2.1

$- 4$ に $15$ をかけます。

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

ステップ 10.5.1.2.2

$- 60$ に $8054$ をかけます。

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

ステップ 10.5.1.3

$516961$ から $483240$ を引きます。

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

ステップ 10.5.2

$2$ に $15$ をかけます。

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

ステップ 10.5.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

ステップ 10.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.6.1.1

$- 719$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

ステップ 10.6.1.2

$- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.6.1.2.1

$- 4$ に $15$ をかけます。

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

ステップ 10.6.1.2.2

$- 60$ に $8054$ をかけます。

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

ステップ 10.6.1.3

$516961$ から $483240$ を引きます。

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

ステップ 10.6.2

$2$ に $15$ をかけます。

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

ステップ 10.6.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

ステップ 10.7

解をまとめます。

$x = \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

ステップ 10.8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

ステップ 10.9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.9.1

区間 $x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.9.1.1

区間 $x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 10.9.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$15 {(0)}^{2} - 719 \cdot 0 + 8054 \geq 0$

ステップ 10.9.1.3

左辺 $8054$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.9.2

区間 $\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.9.2.1

区間 $\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 20$

ステップ 10.9.2.2

$x$ を元の不等式の $20$ で置き換えます。

$15 {(20)}^{2} - 719 \cdot 20 + 8054 \geq 0$

ステップ 10.9.2.3

左辺 $- 326$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.9.3

区間 $x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.9.3.1

区間 $x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 33$

ステップ 10.9.3.2

$x$ を元の不等式の $33$ で置き換えます。

$15 {(33)}^{2} - 719 \cdot 33 + 8054 \geq 0$

ステップ 10.9.3.3

左辺 $662$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.9.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ 真

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ 偽

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ 真

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ 真

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ 偽

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ 真

ステップ 10.10

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ または $x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

ステップ 11

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}, x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}}$

ステップ 12

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{176 + \sqrt{33721}}{30}, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \leq \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}, y \geq \frac{176 + \sqrt{33721}}{30}}$

ステップ 13

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \infty), {x | x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}, x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}}$

値域： $(- \infty, \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{176 + \sqrt{33721}}{30}, \infty), {y | y \leq \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}, y \geq \frac{176 + \sqrt{33721}}{30}}$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例