微分積分例

$y = x^{2} - 4 x + 3$

ステップ 1

$y = x^{2} - 4 x + 3$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{2} - 4 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.2.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$2 x - 4 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 x - 4 + 0$

ステップ 2.3.2

$2 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$2 x - 4$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $2 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 3.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 3.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 4)$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 + 0$

ステップ 3.3.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$2 x - 4 = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

総和則では、 $x^{2} - 4 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 5.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 5.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 5.1.2.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$2 x - 4 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 5.1.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$2 x - 4 + 0$

ステップ 5.1.3.2

$2 x - 4$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x - 4$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x - 4$ です。

$2 x - 4$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 x - 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$2 x - 4 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$2 x = 4$

ステップ 6.3

$2 x = 4$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$2 x = 4$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

ステップ 6.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{2}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

$4$ を $2$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = 2$

ステップ 9

$x = 2$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$2$

ステップ 10

$x = 2$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = 2$ は極小値です

ステップ 11

$x = 2$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 3$

ステップ 11.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 4 - 4 \cdot 2 + 3$

ステップ 11.2.1.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f (2) = 4 - 8 + 3$

ステップ 11.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.2.1

$4$ から $8$ を引きます。

$f (2) = - 4 + 3$

ステップ 11.2.2.2

$- 4$ と $3$ をたし算します。

$f (2) = - 1$

ステップ 11.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$y = - 1$

ステップ 12

$f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ の極値です。

$(2, - 1)$ は極小値です

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例