微分積分例

$p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ , $0 < x < 10$

ステップ 1

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $p (x)$ が $[0, 10]$ 上で連続かどうか求めるために、 $p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.1

$\ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

$- x^{2}$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$2 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

ステップ 1.2.2

不等式を方程式に変換します。

$2 x^{2} + 72 x + 1 = 0$

ステップ 1.2.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.2.4

$a = 2$ 、 $b = 72$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 72 \pm \sqrt{72^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5

簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1.1

$72$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 1.2.5.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.1.2.2

$- 8$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.1.3

$5184$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.1.4

$5176$ を $2^{2} \cdot 1294$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1.4.1

$4$ を $5176$ で因数分解します。

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

ステップ 1.2.5.3

$\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ を簡約します。

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

ステップ 1.2.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.2.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.6.1.1

$72$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.6.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 1.2.6.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.6.1.2.2

$- 8$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.6.1.3

$5184$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.6.1.4

$5176$ を $2^{2} \cdot 1294$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.6.1.4.1

$4$ を $5176$ で因数分解します。

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

ステップ 1.2.6.3

$\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ を簡約します。

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

ステップ 1.2.6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 36 + \sqrt{1294}}{2}$

ステップ 1.2.6.5

$- 36$ を $- 1 (36)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 36 + \sqrt{1294}}{2}$

ステップ 1.2.6.6

$- 1$ を $\sqrt{1294}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - 1 (- \sqrt{1294})}{2}$

ステップ 1.2.6.7

$- 1$ を $- 1 (36) - 1 (- \sqrt{1294})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (36 - \sqrt{1294})}{2}$

ステップ 1.2.6.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

ステップ 1.2.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.2.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.7.1.1

$72$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.7.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 1.2.7.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.7.1.2.2

$- 8$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.7.1.3

$5184$ から $8$ を引きます。

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.7.1.4

$5176$ を $2^{2} \cdot 1294$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1.4.1

$4$ を $5176$ で因数分解します。

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.7.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

ステップ 1.2.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

ステップ 1.2.7.3

$\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ を簡約します。

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

ステップ 1.2.7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 36 - \sqrt{1294}}{2}$

ステップ 1.2.7.5

$- 36$ を $- 1 (36)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - \sqrt{1294}}{2}$

ステップ 1.2.7.6

$- 1$ を $- \sqrt{1294}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - (\sqrt{1294})}{2}$

ステップ 1.2.7.7

$- 1$ を $- 1 (36) - (\sqrt{1294})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (36 + \sqrt{1294})}{2}$

ステップ 1.2.7.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

ステップ 1.2.8

解をまとめます。

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

ステップ 1.2.9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

ステップ 1.2.10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 1.2.10.1

区間 $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.2.10.1.1

区間 $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 38$

ステップ 1.2.10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 38$ で置き換えます。

$- {(- 38)}^{2} + 3 {(- 38)}^{2} + 72 (- 38) + 1 > 0$

ステップ 1.2.10.1.3

左辺 $153$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 1.2.10.2

区間 $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.2.10.2.1

区間 $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 1.2.10.2.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

$- {(- 3)}^{2} + 3 {(- 3)}^{2} + 72 (- 3) + 1 > 0$

ステップ 1.2.10.2.3

左辺 $- 197$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 1.2.10.3

区間 $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 1.2.10.3.1

区間 $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 1.2.10.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$- {(0)}^{2} + 3 {(0)}^{2} + 72 (0) + 1 > 0$

ステップ 1.2.10.3.3

左辺 $1$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 1.2.10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ 真

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ 偽

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ 真

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ 真

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ 偽

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ 真

ステップ 1.2.11

解はすべての真の区間からなります。

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ または $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

ステップ 1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

区間記号：

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

ステップ 2

$p (x)$ は $[0, 10]$ で連続します。

$p (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $p$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x)$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{10 + 0} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

ステップ 5.2

$10$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

ステップ 6

項を簡約します。

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ステップ 6.1

$- x^{2}$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$

ステップ 6.2

$\frac{1}{10}$ と $\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$ をまとめます。

$A (x) = \frac{\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x}{10}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例