微分積分例

$g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ , $[0, 2]$

ステップ 1

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $g (x)$ が $[0, 2]$ 上で連続かどうか求めるために、 $g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.1

$\sqrt{1 + x^{3}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$1 + x^{3} \geq 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

不等式の両辺から $1$ を引きます。

$x^{3} \geq - 1$

ステップ 1.2.2

不等式の両辺に $1$ を足します。

$x^{3} + 1 \geq 0$

ステップ 1.2.3

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} + 1 = 0$

ステップ 1.2.4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.4.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} + 1^{3} = 0$

ステップ 1.2.4.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 1.2.4.3

簡約します。

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ステップ 1.2.4.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

ステップ 1.2.4.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

ステップ 1.2.5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

ステップ 1.2.6

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.6.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 1.2.6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 1.2.7

$x^{2} - x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.7.1

$x^{2} - x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - x + 1 = 0$

ステップ 1.2.7.2

$x$ について $x^{2} - x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.7.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.2.7.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 1$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.3

簡約します。

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ステップ 1.2.7.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.7.2.3.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.3.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.3.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.3.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.7.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.2.7.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.7.2.4.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 1.2.7.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.4.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.4.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.4.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.7.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.7.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.2.7.2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.7.2.5.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 1.2.7.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.5.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.5.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.5.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 1.2.7.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.7.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.7.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.8

最終解は $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 1.2.9

解はすべての真の区間からなります。

$x \geq - 1$

ステップ 1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq - 1}$

区間記号：

$[- 1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq - 1}$

ステップ 2

$g (x)$ は $[0, 2]$ で連続します。

$g (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $g$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2} \sqrt{1 + x^{3}} d x)$

ステップ 5

$u = 1 + x^{3}$ とします。次に $d u = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 1 + x^{3}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$1 + x^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + x^{3}]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $1 + x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 5.1.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 5.1.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3 x^{2}$

ステップ 5.1.5

$0$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2}$

ステップ 5.2

$u = 1 + x^{3}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + 0^{3}$

ステップ 5.3

簡約します。

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ステップ 5.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$u_{lower} = 1 + 0$

ステップ 5.3.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$u_{lower} = 1$

ステップ 5.4

$u = 1 + x^{3}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

ステップ 5.5

簡約します。

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ステップ 5.5.1

$2$ を $3$ 乗します。

$u_{upper} = 1 + 8$

ステップ 5.5.2

$1$ と $8$ をたし算します。

$u_{upper} = 9$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \sqrt{u} (\frac{1}{3}) d u)$

ステップ 6

$\sqrt{u}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{3} d u)$

ステップ 7

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u)$

ステップ 8

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u)$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9})$

ステップ 10

代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$9$ および $1$ で $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.3.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2.3.2

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2.4

$3$ を $3$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2.5

$\frac{2}{3}$ と $27$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2.6

$2$ に $27$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2.7

$54$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.7.1

$3$ を $54$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.7.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2.7.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2.7.2.4

$18$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 10.2.8

1のすべての数の累乗は1です。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1))$

ステップ 10.2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3}))$

ステップ 10.2.10

$18$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}))$

ステップ 10.2.11

$18$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}))$

ステップ 10.2.12

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3})$

ステップ 10.2.13

分子を簡約します。

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ステップ 10.2.13.1

$18$ に $3$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{54 - 2}{3})$

ステップ 10.2.13.2

$54$ から $2$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{52}{3})$

ステップ 10.2.14

$\frac{1}{3}$ に $\frac{52}{3}$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{3 \cdot 3})$

ステップ 10.2.15

$3$ に $3$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{9})$

ステップ 11

分母を簡約します。

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ステップ 11.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot \frac{52}{9}$

ステップ 11.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{52}{9}$

ステップ 12

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.1

$2$ を $52$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (26)}{9}$

ステップ 12.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 26}{9}$

ステップ 12.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{26}{9}$

ステップ 13

微分積分 例

微分積分例