微分積分例

$g (x) = {(x - 6)}^{2}$ , $[5, 8]$

ステップ 1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2

$g (x)$ は $[5, 8]$ で連続します。

$g (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $g$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\int_{5}^{8} {(x - 6)}^{2} d x)$

ステップ 5

$u = x - 6$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = x - 6$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$x - 6$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

ステップ 5.1.2

総和則では、 $x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 5.1.4

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 5.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 5.2

$u = x - 6$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 5 - 6$

ステップ 5.3

$5$ から $6$ を引きます。

$u_{lower} = - 1$

ステップ 5.4

$u = x - 6$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 8 - 6$

ステップ 5.5

$8$ から $6$ を引きます。

$u_{upper} = 2$

ステップ 5.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 5.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\int_{- 1}^{2} u^{2} d u)$

ステップ 6

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{2})$

ステップ 7

代入し簡約します。

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ステップ 7.1

$2$ および $- 1$ で $\frac{1}{3} u^{3}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

ステップ 7.2

簡約します。

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ステップ 7.2.1

$2$ を $3$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

ステップ 7.2.2

$\frac{1}{3}$ と $8$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3})$

ステップ 7.2.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 1)$

ステップ 7.2.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

ステップ 7.2.5

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8}{3} + \frac{1}{3})$

ステップ 7.2.6

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{8 + 1}{3})$

ステップ 7.2.7

$8$ と $1$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{9}{3})$

ステップ 7.2.8

$9$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.8.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{3 \cdot 3}{3})$

ステップ 7.2.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.8.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{3 \cdot 3}{3 (1)})$

ステップ 7.2.8.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1})$

ステップ 7.2.8.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (\frac{3}{1})$

ステップ 7.2.8.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{8 - 5} (3)$

ステップ 8

$8$ から $5$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

ステップ 9

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot 3$

ステップ 9.2

式を書き換えます。

$A (x) = 1$

ステップ 10

微分積分 例

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