微分積分例

$f (x) = x + 12 x^{- 1}$ , $[- 4, - 3]$

ステップ 1

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f (x)$ が $[- 4, - 3]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f (x) = x + 12 x^{- 1}$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.1

$x^{- 1}$ の底辺を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 1.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[- 4, - 3]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\int_{- 4}^{- 3} x + 12 x^{- 1} d x)$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\int_{- 4}^{- 3} x d x + \int_{- 4}^{- 3} 12 x^{- 1} d x)$

ステップ 6

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + \int_{- 4}^{- 3} 12 x^{- 1} d x)$

ステップ 7

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $12$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + 12 \int_{- 4}^{- 3} x^{- 1} d x)$

ステップ 8

$x^{- 1}$ の $x$ に関する積分は $\ln (| x |)$ です。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + 12 (\ln (| x |)]_{- 4}^{- 3}))$

ステップ 9

答えを簡約します。

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ステップ 9.1

代入し簡約します。

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ステップ 9.1.1

$- 3$ および $- 4$ で $\frac{1}{2} x^{2}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} ((\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| x |)]_{- 4}^{- 3}))$

ステップ 9.1.2

$- 3$ および $- 4$ で $\ln (| x |)$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

ステップ 9.1.3

簡約します。

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ステップ 9.1.3.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

ステップ 9.1.3.2

$\frac{1}{2}$ と $9$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

ステップ 9.1.3.3

$- 4$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 16 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

ステップ 9.1.3.4

$16$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 16 (\frac{1}{2}) + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

ステップ 9.1.3.5

$- 16$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 16}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

ステップ 9.1.3.6

$- 16$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.6.1

$2$ を $- 16$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

ステップ 9.1.3.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.1.3.6.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

ステップ 9.1.3.6.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

ステップ 9.1.3.6.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 8}{1} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

ステップ 9.1.3.6.2.4

$- 8$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 8 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

ステップ 9.1.3.7

$- 8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

ステップ 9.1.3.8

$- 8$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

ステップ 9.1.3.9

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9 - 8 \cdot 2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

ステップ 9.1.3.10

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.3.10.1

$- 8$ に $2$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9 - 16}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

ステップ 9.1.3.10.2

$9$ から $16$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

ステップ 9.1.3.11

分数の前に負数を移動させます。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

ステップ 9.1.3.12

$12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 9.1.3.13

$12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + \frac{12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot 2}{2})$

ステップ 9.1.3.14

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot 2}{2})$

ステップ 9.1.3.15

$2$ に $12$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 24 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))}{2})$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

ステップ 9.2.2

$- 7$ を $- 1 (7)$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 \cdot 7 + 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

ステップ 9.2.3

$- 1$ を $24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 \cdot 7 - (- 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))}{2})$

ステップ 9.2.4

$- 1$ を $- 1 (7) - (- 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 (7 - 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))}{2})$

ステップ 9.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

ステップ 9.3

簡約します。

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ステップ 9.3.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 3$ と $0$ の間の距離は $3$ です。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{| - 4 |})}{2})$

ステップ 9.3.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $- 4$ と $0$ の間の距離は $4$ です。

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

ステップ 10

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 10.1

$- 3$ と $4$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

ステップ 10.2

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.2.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

ステップ 10.2.2

式を書き換えます。

$A (x) = 1 \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

ステップ 10.3

$- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2}$ に $1$ をかけます。

$A (x) = - \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2}$

ステップ 11

分子を簡約します。

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ステップ 11.1

対数の中の $24$ を移動させて $- 24 \ln (\frac{3}{4})$ を簡約します。

$A (x) = - \frac{7 - \ln ({(\frac{3}{4})}^{24})}{2}$

ステップ 11.2

積の法則を $\frac{3}{4}$ に当てはめます。

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{3^{24}}{4^{24}})}{2}$

ステップ 11.3

$3$ を $24$ 乗します。

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{282429536481}{4^{24}})}{2}$

ステップ 11.4

$4$ を $24$ 乗します。

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{282429536481}{281474976710656})}{2}$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例