微分積分例

$f (x) = 6 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

ステップ 1

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f (x)$ が $[4, 9]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f (x) = 6 \sqrt{x}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 1.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 0}$

区間記号：

$[0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \geq 0}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[4, 9]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} 6 \sqrt{x} d x)$

ステップ 5

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $6$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} \sqrt{x} d x)$

ステップ 6

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x)$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}))$

ステップ 8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{2}{3}$ と $x^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9}))$

ステップ 8.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$9$ および $4$ で $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

ステップ 8.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

ステップ 8.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

ステップ 8.2.2.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

ステップ 8.2.2.3.2

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

ステップ 8.2.2.4

$3$ を $3$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

ステップ 8.2.2.5

$2$ に $27$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

ステップ 8.2.2.6

$54$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.6.1

$3$ を $54$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

ステップ 8.2.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.6.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

ステップ 8.2.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

ステップ 8.2.2.6.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

ステップ 8.2.2.6.2.4

$18$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

ステップ 8.2.2.7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}))$

ステップ 8.2.2.8

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

ステップ 8.2.2.9

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.9.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

ステップ 8.2.2.9.2

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3}))$

ステップ 8.2.2.10

$2$ を $3$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 8}{3}))$

ステップ 8.2.2.11

$2$ に $8$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{16}{3}))$

ステップ 8.2.2.12

$18$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}))$

ステップ 8.2.2.13

$18$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}))$

ステップ 8.2.2.14

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}))$

ステップ 8.2.2.15

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.15.1

$18$ に $3$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54 - 16}{3}))$

ステップ 8.2.2.15.2

$54$ から $16$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{38}{3}))$

ステップ 8.2.2.16

$6$ と $\frac{38}{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{6 \cdot 38}{3})$

ステップ 8.2.2.17

$6$ に $38$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{228}{3})$

ステップ 8.2.2.18

$228$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.18.1

$3$ を $228$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3})$

ステップ 8.2.2.18.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.18.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 (1)})$

ステップ 8.2.2.18.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 \cdot 1})$

ステップ 8.2.2.18.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{76}{1})$

ステップ 8.2.2.18.2.4

$76$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (76)$

ステップ 9

$9$ から $4$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 76$

ステップ 10

$\frac{1}{5}$ と $76$ をまとめます。

$A (x) = \frac{76}{5}$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例