微分積分例

$f (x) = 5 \csc (x)$ , $0 < x < 2 π$

ステップ 1

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f (x)$ が $[0, 2 π]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f (x) = 5 \csc (x)$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.1

$\csc (x)$ の偏角を $π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 1.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

集合の内包的記法：

${x | x \neq π n}$ 、任意の整数 $n$

集合の内包的記法：

${x | x \neq π n}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2

$f (x)$ は $[0, 2 π]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (\int_{0}^{2 π} 5 \csc (x) d x)$

ステップ 5

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $5$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \int_{0}^{2 π} \csc (x) d x)$

ステップ 6

$\csc (x)$ の $x$ に関する積分は $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ です。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{0}^{2 π}))$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$2 π$ および $0$ で $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (2 π) - \cot (2 π) |) - \ln (| \csc (0) - \cot (0) |)))$

ステップ 7.2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (2 π) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

ステップ 7.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.2.1

正弦と余弦に関して $\csc (2 π)$ を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (2 π)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

ステップ 7.3.2.2

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

ステップ 7.3.2.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

ステップ 7.3.2.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

ステップ 7.3.3

分母を簡約します。

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ステップ 7.3.3.1

正弦と余弦に関して $\csc (0)$ を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}))$

ステップ 7.3.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

ステップ 7.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

ステップ 7.3.4

$| \frac{1}{0} - \cot (0) |$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.4.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

ステップ 7.3.4.2

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (1))$

ステップ 7.3.5

$1$ の自然対数は $0$ です。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \cdot 0)$

ステップ 7.3.6

$5$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (0)$

ステップ 8

分母を簡約します。

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ステップ 8.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 π + 0} \cdot 0$

ステップ 8.2

$2 π$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{2 π} \cdot 0$

ステップ 9

$\frac{1}{2 π}$ に $0$ をかけます。

$A (x) = 0$

ステップ 10

微分積分 例

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