微分積分例

$f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2}$ , $[0, 1]$

ステップ 1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[0, 1]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} 4 x^{3} - 3 x^{2} d x)$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x)$

ステップ 6

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 \int_{0}^{1} x^{3} d x + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x)$

ステップ 7

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x)$

ステップ 8

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x)$

ステップ 9

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x)$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}))$

ステップ 11

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

ステップ 11.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$1$ および $0$ で $\frac{x^{4}}{4}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

ステップ 11.2.2

$1$ および $0$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 11.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 11.2.3.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 11.2.3.3

$0$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.3.1

$4$ を $0$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 11.2.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.3.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 11.2.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 11.2.3.3.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 11.2.3.3.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} - 0) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 11.2.3.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4} + 0) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 11.2.3.5

$\frac{1}{4}$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (4 (\frac{1}{4}) - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 11.2.3.6

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{4}{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 11.2.3.7

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.7.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\frac{4}{4} - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 11.2.3.7.2

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 11.2.3.8

1のすべての数の累乗は1です。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

ステップ 11.2.3.9

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

ステップ 11.2.3.10

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.10.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

ステップ 11.2.3.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.10.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

ステップ 11.2.3.10.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

ステップ 11.2.3.10.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

ステップ 11.2.3.10.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} - 0))$

ステップ 11.2.3.11

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3} + 0))$

ステップ 11.2.3.12

$\frac{1}{3}$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 3 (\frac{1}{3}))$

ステップ 11.2.3.13

$- 3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{- 3}{3})$

ステップ 11.2.3.14

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.14.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{3 \cdot - 1}{3})$

ステップ 11.2.3.14.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.3.14.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)})$

ステップ 11.2.3.14.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1})$

ステップ 11.2.3.14.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 + \frac{- 1}{1})$

ステップ 11.2.3.14.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 - 1)$

ステップ 11.2.3.15

$1$ から $1$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (0)$

ステップ 12

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot 0$

ステップ 12.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 0$

ステップ 13

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 13.1

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 0$

ステップ 13.1.2

式を書き換えます。

$A (x) = 1 \cdot 0$

ステップ 13.2

$0$ に $1$ をかけます。

$A (x) = 0$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例