微分積分例

$f (x) = 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x}$ , $[0, 5]$

ステップ 1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[0, 5]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x} d x)$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 d x + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

ステップ 7

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $8$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{5} {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

ステップ 8

$u = - 0.04 x$ とします。次に $d u = - 0.04 d x$ すると、 $\frac{1}{- 0.04} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$u = - 0.04 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 8.1.1

$- 0.04 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [- 0.04 x]$

ステップ 8.1.2

$- 0.04$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 0.04 x$ の微分係数は $- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 8.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 0.04 \cdot 1$

ステップ 8.1.4

$- 0.04$ に $1$ をかけます。

$- 0.04$

ステップ 8.2

$u = - 0.04 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = - 0.04 \cdot 0$

ステップ 8.3

$- 0.04$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 8.4

$u = - 0.04 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = - 0.04 \cdot 5$

ステップ 8.5

$- 0.04$ に $5$ をかけます。

$u_{upper} = - 0.2$

ステップ 8.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.2$

ステップ 8.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot \frac{1}{- 0.04} d u)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分数の前に負数を移動させます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot (- \frac{1}{0.04}) d u)$

ステップ 9.2

${2.71828182}^{u}$ と $\frac{1}{0.04}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} - \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

ステップ 10

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 (- \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u))$

ステップ 11

$- 1$ に $8$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

ステップ 12

$\frac{1}{0.04}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{0.04}$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 (\frac{1}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u))$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{0.04}$ と $- 8$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \frac{- 8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

ステップ 13.2

分数の前に負数を移動させます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

ステップ 14

${2.71828182}^{u}$ の $u$ に関する積分は $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ です。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

$\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ と $\frac{8}{0.04}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2} \cdot 8}{0.04})$

ステップ 15.2

$8$ を $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ の左に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

ステップ 16

代入し簡約します。

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ステップ 16.1

$5$ および $0$ で $29 x$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

ステップ 16.2

$- 0.2$ および $0$ で $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

ステップ 16.3

簡約します。

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ステップ 16.3.1

$29$ に $5$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

ステップ 16.3.2

$- 29$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

ステップ 16.3.3

$145$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

ステップ 16.3.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{{2.71828182}^{0.2}}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

ステップ 16.3.5

$2.71828182$ を $0.2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

ステップ 16.3.6

$\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)}$ を積として書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} \cdot \frac{1}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

ステップ 16.3.7

$\frac{1}{1.22140275}$ に $\frac{1}{\ln (2.71828182)}$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275 \ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

ステップ 16.3.8

$1.22140275$ に $\ln (2.71828182)$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

ステップ 16.3.9

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

各項を簡約します。

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ステップ 17.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 17.1.1.1

$1$ を $1.22140275$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (0.81873075 - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

ステップ 17.1.1.2

$0.81873075$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)}$ を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

ステップ 17.1.1.3

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182) - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

ステップ 17.1.1.4

分子を簡約します。

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ステップ 17.1.1.4.1

$0.81873075$ に $\ln (2.71828182)$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

ステップ 17.1.1.4.2

$0.81873075$ から $1$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{- 0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

ステップ 17.1.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

ステップ 17.1.1.6

$e$ を概算で置き換えます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\log_{2.71828182} (2.71828182)})}{0.04})$

ステップ 17.1.1.7

$2.71828182$ の対数の底 $2.71828182$ は約 $0.99999999$ です。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{0.99999999})}{0.04})$

ステップ 17.1.1.8

$0.18126924$ を $0.99999999$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- 1 \cdot 0.18126924)}{0.04})$

ステップ 17.1.1.9

$- 1$ に $0.18126924$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 \cdot - 0.18126924}{0.04})$

ステップ 17.1.2

$8$ に $- 0.18126924$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{- 1.45015397}{0.04})$

ステップ 17.1.3

$- 1.45015397$ を $0.04$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

ステップ 17.1.4

$- 1$ に $- 36.25384939$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

ステップ 17.2

$145$ と $36.25384939$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (181.25384939)$

ステップ 18

分母を簡約します。

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ステップ 18.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 181.25384939$

ステップ 18.2

$5$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 181.25384939$

ステップ 19

分数をまとめます。

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ステップ 19.1

$\frac{1}{5}$ と $181.25384939$ をまとめます。

$A (x) = \frac{181.25384939}{5}$

ステップ 19.2

$181.25384939$ を $5$ で割ります。

$A (x) = 36.25076987$

ステップ 20

微分積分 例

微分積分例