微分積分例

$y = x + e^{- 5 x}$

ステップ 1

$y = x + e^{- 5 x}$ を関数で書きます。

$f (x) = x + e^{- 5 x}$

ステップ 2

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x + e^{- 5 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

ステップ 2.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 5 x$ とします。

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2.2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $- 5 x$ で置き換えます。

$1 + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 2.2.2

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)$

ステップ 2.2.4

$- 5$ に $1$ をかけます。

$1 + e^{- 5 x} \cdot - 5$

ステップ 2.2.5

$- 5$ を $e^{- 5 x}$ の左に移動させます。

$1 - 5 e^{- 5 x}$

ステップ 3

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

総和則では、 $1 - 5 e^{- 5 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{- 5 x}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 5 e^{- 5 x})$

ステップ 3.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 5 e^{- 5 x})$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- 5 e^{- 5 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 e^{- 5 x}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ です。

$f'' (x) = 0 - 5 \frac{d}{d x} e^{- 5 x}$

ステップ 3.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 5 x$ とします。

$f'' (x) = 0 - 5 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 5 x))$

ステップ 3.2.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

ステップ 3.2.2.3

$u$ のすべての発生を $- 5 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

ステップ 3.2.3

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} x))$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

ステップ 3.2.5

$- 5$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

ステップ 3.2.6

$- 5$ を $e^{- 5 x}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 0 - 5 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

ステップ 3.2.7

$- 5$ に $- 5$ をかけます。

$f'' (x) = 0 + 25 e^{- 5 x}$

ステップ 3.3

$0$ と $25 e^{- 5 x}$ をたし算します。

$f'' (x) = 25 e^{- 5 x}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$1 - 5 e^{- 5 x} = 0$

ステップ 5

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1.1

総和則では、 $x + e^{- 5 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

ステップ 5.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

ステップ 5.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 5 x$ とします。

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 5.1.2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 5.1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $- 5 x$ で置き換えます。

$1 + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

ステップ 5.1.2.2

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)$

ステップ 5.1.2.4

$- 5$ に $1$ をかけます。

$1 + e^{- 5 x} \cdot - 5$

ステップ 5.1.2.5

$- 5$ を $e^{- 5 x}$ の左に移動させます。

$f' (x) = 1 - 5 e^{- 5 x}$

ステップ 5.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $1 - 5 e^{- 5 x}$ です。

$1 - 5 e^{- 5 x}$

ステップ 6

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $1 - 5 e^{- 5 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 6.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$1 - 5 e^{- 5 x} = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 5 e^{- 5 x} = - 1$

ステップ 6.3

$- 5 e^{- 5 x} = - 1$ の各項を $- 5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$- 5 e^{- 5 x} = - 1$ の各項を $- 5$ で割ります。

$\frac{- 5 e^{- 5 x}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$- 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 5 e^{- 5 x}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

ステップ 6.3.2.1.2

$e^{- 5 x}$ を $1$ で割ります。

$e^{- 5 x} = \frac{- 1}{- 5}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$e^{- 5 x} = \frac{1}{5}$

ステップ 6.4

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- 5 x}) = \ln (\frac{1}{5})$

ステップ 6.5

左辺を展開します。

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ステップ 6.5.1

$- 5 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- 5 x})$ を展開します。

$- 5 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{5})$

ステップ 6.5.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$- 5 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{5})$

ステップ 6.5.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$- 5 x = \ln (\frac{1}{5})$

ステップ 6.6

$- 5 x = \ln (\frac{1}{5})$ の各項を $- 5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

$- 5 x = \ln (\frac{1}{5})$ の各項を $- 5$ で割ります。

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 5}$

ステップ 6.6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.1

$- 5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 5}$

ステップ 6.6.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 5}$

ステップ 6.6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$

ステップ 7

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 7.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 8

値を求める臨界点です。

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$

ステップ 9

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$25 e^{- 5 (- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5})}$

ステップ 10

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$25 e^{- 5 \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{5}}$

ステップ 10.1.2

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$25 e^{5 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{5}}$

ステップ 10.1.3

共通因数を約分します。

$25 e^{5 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{5}}$

ステップ 10.1.4

式を書き換えます。

$25 e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{5}))}$

ステップ 10.2

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$25 e^{1 \ln (\frac{1}{5})}$

ステップ 10.2.2

$\ln (\frac{1}{5})$ に $1$ をかけます。

$25 e^{\ln (\frac{1}{5})}$

ステップ 10.3

指数関数と対数関数は逆関数です。

$25 (\frac{1}{5})$

ステップ 10.4

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$5$ を $25$ で因数分解します。

$5 (5) \frac{1}{5}$

ステップ 10.4.2

共通因数を約分します。

$5 \cdot 5 \frac{1}{5}$

ステップ 10.4.3

式を書き換えます。

$5$

ステップ 11

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ は極小値です

ステップ 12

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ のときy値を求めます。

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ステップ 12.1

Simplify $- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ to substitute in $f (x) = x + e^{- 5 x}$ .

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ステップ 12.1.1

$\frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ を $\frac{1}{5} \ln (\frac{1}{5})$ に書き換えます。

$y = - (\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{1}{5}))$

ステップ 12.1.2

対数の中の $\frac{1}{5}$ を移動させて $\frac{1}{5} \ln (\frac{1}{5})$ を簡約します。

$y = - \ln ({(\frac{1}{5})}^{\frac{1}{5}})$

ステップ 12.1.3

積の法則を $\frac{1}{5}$ に当てはめます。

$y = - \ln (\frac{1^{\frac{1}{5}}}{5^{\frac{1}{5}}})$

ステップ 12.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$y = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})$

ステップ 12.2

式の変数 $x$ を $- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})$ で置換えます。

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) + e^{- 5 (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}))}$

ステップ 12.3

結果を簡約します。

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ステップ 12.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.1

$- 5 (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.1.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + e^{5 \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})}$

ステップ 12.3.1.1.2

対数の中の $5$ を移動させて $5 \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})$ を簡約します。

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + e^{\ln ({(\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})}^{5})}$

ステップ 12.3.1.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + {(\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})}^{5}$

ステップ 12.3.1.3

積の法則を $\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}$ に当てはめます。

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1^{5}}{{(5^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

ステップ 12.3.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{{(5^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

ステップ 12.3.1.5

分母を簡約します。

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ステップ 12.3.1.5.1

${(5^{\frac{1}{5}})}^{5}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

ステップ 12.3.1.5.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.3.1.5.1.2.1

共通因数を約分します。

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

ステップ 12.3.1.5.1.2.2

式を書き換えます。

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$

ステップ 12.3.1.5.2

指数を求めます。

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$

ステップ 12.3.2

最終的な答えは $- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$ です。

$y = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$

ステップ 13

$f (x) = x + e^{- 5 x}$ の極値です。

$(- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}, - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5})$ は極小値です

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例