微分積分例

$f (x) = \frac{4}{x^{2} + 9}$ , $[- 3, 3]$

ステップ 1

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f (x)$ が $[- 3, 3]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f (x) = \frac{4}{x^{2} + 9}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{4}{x^{2} + 9}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + 9 = 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x^{2} = - 9$

ステップ 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

ステップ 1.2.3

$\pm \sqrt{- 9}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- 9$ を $- 1 (9)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

ステップ 1.2.3.2

$\sqrt{- 1 (9)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

ステップ 1.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

ステップ 1.2.3.4

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

ステップ 1.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 3$

ステップ 1.2.3.6

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 3 i$

ステップ 1.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3 i$

ステップ 1.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3 i$

ステップ 1.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3 i, - 3 i$

ステップ 1.3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2

$f (x)$ は $[- 3, 3]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 3

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 4

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} \frac{4}{x^{2} + 9} d x)$

ステップ 5

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 \int_{- 3}^{3} \frac{1}{x^{2} + 9} d x)$

ステップ 6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x^{2}$ と $9$ を並べ替えます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 \int_{- 3}^{3} \frac{1}{9 + x^{2}} d x)$

ステップ 6.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 \int_{- 3}^{3} \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x)$

ステップ 7

$\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3})]_{- 3}^{3}$ です。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{1}{3} \cdot \arctan (\frac{x}{3})]_{- 3}^{3}))$

ステップ 8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\frac{1}{3}$ と $\arctan (\frac{x}{3})$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3}]_{- 3}^{3}))$

ステップ 8.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$3$ および $- 3$ で $\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 ((\frac{\arctan (\frac{3}{3})}{3}) - \frac{\arctan (\frac{- 3}{3})}{3}))$

ステップ 8.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (\frac{3}{3})}{3} - \frac{\arctan (\frac{- 3}{3})}{3}))$

ステップ 8.2.2.1.2

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{- 3}{3})}{3}))$

ステップ 8.2.2.2

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.2.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot - 1}{3})}{3}))$

ステップ 8.2.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.2.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot - 1}{3 (1)})}{3}))$

ステップ 8.2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1})}{3}))$

ステップ 8.2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{- 1}{1})}{3}))$

ステップ 8.2.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (- 1)}{3}))$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1) - \arctan (- 1)}{3}))$

ステップ 9.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} - \arctan (- 1)}{3}))$

ステップ 9.2.2

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{3}))$

ステップ 9.2.3

$- - \frac{π}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})}{3}))$

ステップ 9.2.3.2

$\frac{π}{4}$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{3}))$

ステップ 9.3

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π + π}{4}}{3}))$

ステップ 9.4

$π$ と $π$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 π}{4}}{3}))$

ステップ 9.5

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 (π)}{4}}{3}))$

ステップ 9.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{3}))$

ステップ 9.5.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{3}))$

ステップ 9.5.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{2}}{3}))$

ステップ 9.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}))$

ステップ 9.7

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.7.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

ステップ 9.7.2

$2$ に $3$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{π}{6}))$

ステップ 9.8

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.8.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 (2) (\frac{π}{6}))$

ステップ 9.8.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 \cdot (2 (\frac{π}{2 \cdot 3})))$

ステップ 9.8.3

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 \cdot (2 (\frac{π}{2 \cdot 3})))$

ステップ 9.8.4

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 (\frac{π}{3}))$

ステップ 9.9

$2$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\frac{2 π}{3})$

ステップ 10

$3$ と $3$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2 π}{3}$

ステップ 11

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{2 π}{3}$

ステップ 11.2

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{2 (π)}{3}$

ステップ 11.3

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 π}{3}$

ステップ 11.4

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{π}{3}$

ステップ 12

$\frac{1}{3}$ に $\frac{π}{3}$ をかけます。

$A (x) = \frac{π}{3 \cdot 3}$

ステップ 13

$3$ に $3$ をかけます。

$A (x) = \frac{π}{9}$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例